Considerations sur la théorie mathématique du jeu

'. rpere , André Iferie

Considérations siir la
théorie mathématique du Jeu
par A. M. Ampère

273

'?m

Liirairie Scientifiçfue
A.HERMANN

JoedelâSDrîloiiiie.PAEISCS*;

CONSIDÉRATIONS

s ir R î. ji

THÉORIE MATHÉMATIQUE
DU JEU.

CONSIDERATIONS

SUR LA

THÉORIE MATHÉMATIQUE
DU JEU,

Pau A. M. A mpèke^ de l'Athénée de Lyon, et de la Société
d'Émulation et d'Agriculture du département de VAin^ Professeur
de Physique à l'École centrale du même département.

A LYON,

Chez ks FfiÈasd Peris«i, Imprimeurs - Libraires , Grande rue
Mercière , n-° i5.

Et se trouve à PARIS,

Chez la veuve Périsse, Libraire , rue S.t- André - iç$ - Arts , a.® 84

Et chez D'Jprat, Libraire, quai des Augustins , n.** 71.

An II, — 1802

CONSIDERATIONS

SUR

LA THÉORIE MATHÉMATIQUE

DU JEU.

I. PLUSIEURS Écrivains, parmi lesquels on doit distinguer le célèbre
Dussaulx , ont eu recours à l'expérience pour prouver que la passion du
jeu conduit ceux qui s'y livrent a une ruine inévitable. L'ensemble des
faits qu'ils ont réunis , suffit sans doute , pour convaincre tout homme
impartial; mais les joueurs y font peu d'attention, parce qu'ils s'accoutument
à ne voir que l'effet du hasard dans les événemens les plus propres à
leur faire connaître toute l'étendue des dangers où ils se précipitent. Ces
événemens feraient peut-être plus d'impression sur leur esprit , si on leur
démontrait qu'ils doivent les considérer comme une suite nécessaire de la
combinaison des chances , et qu'ils ne peuvent éviter les mêmes malheurs
qu'en cessant de s'y exposer. Tel fut , sans doute , le motif qui engagea
l'illustre Buffon , cet auteur dont les erreurs mêmes portent l'empreinte du
génie , à examiner cette question sous un point de vue purement mathé-
matique dans son essai d'arithmétique morale.

2. On trouve ddus cet ouvrage des idées qui auraient dû conduire l'auteur
aux vrais principes de la théorie générale du jeu , qu'on ne doit point confondre
avec la théorie des différens jeux considérés chacun en particulier. Celle-ci a été
l'objet des recherches d'un grand nombre de Mathématiciens , qui lui ont donné
toute la perfection dont elle était susceptible : la première ne me parait
avoir été soupçonnée que par Buffon. Je crois indispensable de citer ici
quelques passages , où il pose les premiers fondemens de cette nouvelle
théorie , de la manière la plus claire et la plus précise. << On sait en
» général que le jeu est une passion avide dont l'habitude est ruineuse,
» mais cette vérité n'a peut-être jamais été démontrée que par une triste
y expérience , sur laquelle on n'a pas assez réfléchi pour se corriger par
> la conviction. Un joueur dont la fortune exposée chaque jour aux coups

A

( ^ )

àv hasard , se mîne peu S pei! , et se trouve enfin neceî:airemont
2, détruite , n'alti^buo ses pertes qu'à ce même hasard qu'il .-iccus« d'in-

» justice dans son désespoir il s'en

» prend à son étoile malheureuse ; il n'imagine pas qao cette aveugle
v> puissarxe , la fortune du jeu , marche à la vérité d'un pas indiffarpnt «it
» incertain. Mais qua chaque démarche elle tend néanmoins à un bii<, et
y tire à un terme certain , qui est la ruine de ceux qui )a tenient. 11 ne
» voit pas que l'indifférence apparente qu'elle a pour le hien ei pour ie
s» tnal , produii avec le temps la nécessité du mal ; qu une lorgiif; suite de
» hasards est une chahie faiale dont le prolongctnent amène le raallieur » *.

3. Il est impossible Je faire un exposé plus éloquent et plus exact des
principes qui servent de base à la théorie» que nous examinons ; et si l'Au-
trur en eût , à l'aide du calcul, développé toutes les conséquences, 'e mémoire
oue je présente au public n'aurait plus d'objet. Mais bientôt il ibandonne
ses premières idées pour se jeter dans des hypothèses qui leur sont étran-
gères , fet SB livrar.:; tout-à-coup à de nouvelles considérations , il cherche
seulement à prouver que deux joueurs également riches , qui jouent la
jnoitie de leur fortune, dnninuent chacun cette fortune d'un louziéme. J avoue
que la somme qu'on hasarde au jeu , produit en général moins d'avantages
à celui qui la gagne , que de privations à elui qui la perd ; mais je ne
crois pas que cette différence établisse entre la valeur réelle de la somme
perdue , et celle de la somme gagnée , qui lui est numériquement égaie , le
rapport de la moitié au tiers de la fortune de chaque joueur , plutôt que
tout autre rapport. Comme s'il était possible d'évaluer ce qui dépend des
besoins de chaque joueur , de son état , du rang qu'd tient dans la société ,
et des circonstances o« il se trouve.

4. Lors^ même qu'on pourrait déterminer exactement cette différence, on
ne devrait en tenir aucun compte dans un calcul où il sagirait dexpliquer
comment une longue suite de hasards est une chaîne fatale qui entraint
néi'.essairement au nialheur , puisque les sommes perdues n'approchent pAS
plus la ruihô du joueur que les sommes gagnées ne l'éloigncnt , et que les
effets qui en résultent se détruisent mutuellement quand ces sommes sont
égale».

5. Je me suis donc décidé à ne faire entrer dans le calcul que les valeurs
absolues des sommes jouées, comme on le fait constamment dans la théorie
ordinaire des probabilités : j'ai trouvé de cette manière des résultats assez
différens de ceux de Buffon , mais sur lesquels je ne crois pas que les
démonstrations suivantes puissent laisser le moindrt; doute. J'ai banni de ces
démonstrations les méthodes d'induction , dont on fait , à ce qu'il semble ,
trop d'usage dans la théorie des probabilités , et dans celle des séries; le désir
de n'y employer que des preuves directes , m'a obligé d'avoir recours à des
formules que je crois nouvelles, et qu on trouvera danr- ce mémoire. Ces

_ IT I I ■ Il I .1

t" Essai d'nithœ. moreU , art. XII.

C 3 )

fomwios pourront tîevenir très-uiiles pour différentes recherches de calcul ;
elles paraissent sur-tout propres à founùr les moyens les plus smipies et
les plus directs qu'on puisse employer pour démontrer plusieurs théorèmes
iniportans , qui ne l'ont point encore été compiertement *.

6. Voici les principaux résultats auxquels j'ai été conduit , et ii.o'>t la
démonstration est l'objei 3e ce mémoire: i". en écartant les considérations
morales qui font varier la valeur de l'argent, suivant les circonstance* où se
trouvent les joueurs , il ne saurait v ?voir aucun désavantage à jouer 3 jjeu
égal contre un adversaire également ïiche , puisque l'un ne peut rien perdre
que l'autre ne gagne, et que tout est égal de part et d'autre; 2°, la même
chose a lieu entre deux joueurs ; de fortunes inégale? , s'ils sont décidés
à ne faire qu'un nombre de parties déterminé , et assez petit pour que ni
l'un ni l'autre ne puisse être dans le cas de perdre tout ce qu'il pcssède ;
3*. il n'en est pas de même lorsqu'il s'agit d'un nombre indéfini de parties :
la possibilité de tenir le jeu plus long-temps , donne au plus riche des deux
joueurs un avantage d'autant plus grand qu'il y a plus de différence entre leurs
fortunes ; 4*. cet avantage deviendrait infim , si l'une des fortunes pouvait
l'être , le joueur le moins riche serait alors sûr de se ruiner , et c'est pour
ctia que c'est courir à une ruine certaine , que de jouer indifféremment
contre tous ceux qui se rencontrent dans la société : on doit en effet , dans
la théorie , les considérer comme un seul adversaire dont la fortune serait infi-
nie. Mais comme il en pourrait résulter quelqu'obscurité , je vais commencer
par traiter ce cas mdépendamraent de celui où l'on suppose que ce sont
les deux mêmes joueurs qui jouent toujours l'un contre l'autre; et pour ne
rien laisser à désirer à cet égard , j'examinerai d abord ce qu'on doit entendre
dans la théorie des probabilités par la certitude morale , la seule dont il sott
ici question,

7. En représentant , comme on le fait ordinairement , par l'unité la
certitude absolue , celle par exemple qui résulte d'une démonstration rigou-
reuse , on pourra regarder comme une certitude morale toute fraction
variable qui , sans devenir jamais égale à l'unité , peut en approcher d'assez
près pour surpasser toute fraction déterminée. C'est ainsi qu'un homme
est moralement certain d'amener un sonnet en jouant toute sa vie au tric-
trac , quoique la probabilité de cet événement ne soit que ^ au premier

«oup .^ + ;n6 "^^"^ ^®^ ^^^^ premiers coups , ^ + ^-^ 4- ^^^^ dans les
trois premiers , et ainsi de suite : il est aisé de voir que ces différentes
sommes de piobabiîités , ne peuvent jamais devenir égales à l'unité dont
elles approchent de plus en plus , jusqu'à n'eu différer que d'une quantité
moindre que toute fraction donnée "**.

* Voyez l'appcndic? à la fin de ce mémoire.

*■*' Cela se démontre immédiatement à {'aide de la formule que nous donceront
ct'oprès (41), ca y supposant i = jî > afin qu'oa ait ^-^=:j|, et -i- r=:j^.

C 4 )

8. Toutes les fois que rien ne borne le nombre des coups où un e'vê-
nement peut arriver , la probabilité de cet événement augmente nécessai-
rement avec le nombre des coups : mais d'après ce que nous venons de
dire , on doit sur-tout s'attacher à distinguer le cas où cette augmentation
tend vers une limite déterminée , de celui où elle n'a point d'autre limite
que la certitude ; ce qui rend l'événement moralement certain , en sup-
posant toujours le nombre des coups indéterminé.

Cf. Le sujet que nous traitons peut fournir des exemples de l'un et de
l'autre cas : nous venons ( 7. ) d'en indiquer un de celui où la somme
des probabilités peut approcher de la certitude d'aussi près que l'on veut ;
pour en donner un du cas où celte somme ne peut augmenter qu'en
restant constamment au dessous d'une certaine limite , il suffit de consi-
dérer celui où deux joueurs , également riches , jouent à jeu égal l'un
contre l'autre , jusqu'à ce que l'un d'eux soit ruiné.

!©. Il est aisé de voir que rien alors ne détermine le nombre des par-
ties que feront les deux joueurs , et que la probabilité que l'un d'eux se
ruinera , aHgmentera avec le nombre des parties , sans pouvoir cependant
surpasser jamais la limite ~ , puisque ce joueur ne peut se ruiner s'il arrive au
contraire qu'il ruine son adversaire , événement aussi probable que l'autre,
lorsque tout , comme on le suppose ici , est égal entre les deux
joueurs. *

II. L'homme qui se livre k l'amour du jeu, ne met certainement aucune
borne au nombre des parties qu'il jouera ; il sait qu'il peut se ruiner , et
que la probabilité de cet événement deviendra d'autant plus grande
qu'il jouera plus de parties ; il regarde cependant cette probabilité comme
assez petite , pour ne devoir lui inspirer que de faibles inquiétudes ;
en sorte qu'il croit être , à cet égard , dans le premier des deux cas
dont nous venons de parler , et dont il a un sentiment confus , seni-
blable à celui qu'ont tous les joueurs des principaux points de la théorie
des probabilités. Quel serait son étonnement , s'il savait qu'il est au con-
traire dans le second , et, que cette probabilité, bien -loin detre aussi
petite qu'il l'imagine , devient assez grande , après un nombre suffisant de
parties , pour surpasser toute probabilité donnée ; la démonstration qu'on
trouvera ici de la vérité de cette assertion , repose sur une des proposi-
tions fondamentales de la théorie des séries , savoir ; Qu'en sommant une
série convergente , dans la supposition que le nombre de ses termes est infini ,
on trouse toujours une limite dont les sommes formées des termes consécutifs
de la même série , peuvent approcher de manière à n'en différer que d'une
quantité moindre que toute quantité donnée. Je ne pourrais m'occuper ici de
j'exi'men de cette proposition , admise par tous les mathématiciens , sans
sortir des bornes de mon sujet ; mais comme il me semble qu'il manque

* En appliquant â ce cas particulier les formules démontrées dans ce mémoire , qouj
ferons voir ( 76. ) que î est en etfet la limite de cett« probabilité.

( 5 )

•ncore quelque chose aui «iétnonstrations qu'on en a données jusqu'à pré-
sent, je renverrai à cet égard à un ouvrage sur les séries, auquel le
professeur de mathématiques de l'école centrale du département de l'Ain et
moi , travaillons de concert , et qui sera probablement bientôt publié. On
trouvera dans cet ouvrage de nouvelles recherches sur différens points
de la théorie des séries , et des démonstrations directes et générales des
théorèmes qui en dépendent , particulièrement de ceux qui n'ont été encore
démontrés que d'une manière vague , ou par induction.

Z2. Pour déterminer la limite des probabilités contraires au joueur ,
dans le cas que nous examinons , il faut d'abord trouver le terme géné-
ral de la série qui les comprend toutes , c'est-à-dire , la probabilité que
le joueur se ruinera à la dernière d'un nombre quelconque de parties.
Supposons , pour simplifier le calcul j que la somme jouée est la même
à chaque psrtie , et qu'elle est une aliquote exacte de la fortune qu'a
le joueur en entrant au jeu. Ces deux suppositions ne sont certainement
point d'accord avec ce que font ordinairement les joueurs ; mais comme
le calcul , si l'on ne les admettait pas , serait trop compliqué pour qu'on

{)ût en tirer aucun résultat satisfaisant , il est d'autant plus à propos de
es adopter que l'on peut toujours trouver une aliquote exacte de la fortune
du joueur , moindre que les différentes sommes qu'il risque à chaque
partie, et que si l'on démontre alors qu'il doit nécessairement se ruiner, on
pourra en conclure , à plus forte raison , qu'il se ruinera eu hasardant à
chaque partie des sommes plus considérables.

i3. Représentons par m le nombre de fois que cette aliquote est contenue
dans la fortune primitive du joueur : puisqu'il ne risque dans cette hypotèse
que ^ de sa fortune à chaque partie , il est évident qu'il ne pourra se
trouver ruiné avant la partie dont le rang est désigné par m : pour qu'il le
fût en effet à cette partie , il faudrait qu'il la perdît après avoir perdu
toutes les précédentes ; s'il en gagne une et qu'il perd^ toutes les autres ,
il ne se trouvera ruiné qu'après m -f- 2 parties; s'il en gagne une seconde,
il ne pourra plus l'être qu'en en perdant m ■+■ 2 , ce qui suppose nécessai-
rement m -f- 4 parties ; et il est aisé de voir qu'en général p désignant un
nombre quelconque , il faudra pour qu'il ne reste rien au joueur que le
nombre de toutes les parties soit m -+- 2 p, le nombre des parties qu'il gagne
p , et celui des parties qu'il perd m -\- p.

14. Soit ^ : 1 le rapport qui se trouve à chaque partie entre les chances
qui sont favorables au joueur et celles qui lui sont contraires , en sorte
que q = I quand il joue au pair , et qu'on ait par exemple q = - , si
d'après la nature et les conditions du jeu , il doit gagner en général S par-
ties sur II. La certitude étant à l'ordinaire représentée par l'unité , la pro-
babilité que le joueur gagnera ung partie , le sera par la fraction — ^ , et
la probabilité qu'il la perdra par ~- • Si l'o» veut avoir la probabilité

Ç '^ )

que p parties gagnées , et m--+- p parties perdues se succéderont ddns' un
ordre déterminé , il faudra faire le produii de p facteurs égaux à ^-^ ,

et de m -\- p facteurs égaux à —i- , ce ijui doiuiera - — , ' m^-if

I !). Cette probabilité est la même pour tous les arrange mens qu'on peut
imaginer entre ces parties gagnées et perdues , et comme ils sont absc4u-
ment indépendans les uns des autres , il est évident que la probabilité que
>i)ous venons de trouver doit être multipliée par la nombre de ces arrange-
mens , en observant de faire abstraction de ceux qui n'auraient pas permis
au joueui de parvenir à la partie que nous considérons , en le privant de
toute sa fortune di'^s les parties précédentes. Soit m -\- a r le xang dune
de ces parties , r étant plus petit que p , il faudra rejeter tous les arran-
gemens de p parties gagnées, et de m -f-/J panies perdues, dont les m"-f-2r
premières parties renfermeraient r parties gagnées , et m -f- r parties per-
dues , parce que ce sont précisément ces arrangcinens qui auraient ruiné
le joueur après m -\- 2 r parties.

i 6. Sans cette condition le nombre des arrangemens serait

m -f- ap m-|-ap— I (n-j-2p__a m-j-p-4-i.

1 a 3 /)

pour savoir ce qu'il devient dans le cas présent , exprimons en général par

A le nombre des srrangemcns d'un nombre quelconque t de panies,
qui amènen;. la ruine du joueur à la dernière de ces t parties , sans l'avoir
amenée à aucune des précédentes , les parenthèses qui accompagnent le nom-
bre r servant à désigner que ce nombre doit être considère comme un in-
dice et non comme un exposant. D'après cette notation le nombre dont
nous cherchons la valeur sera exprimé par A '"^'^''' ^ ^t p^'^'^-" repré-
sentera le nombre des arrangemens de r parties gagnées , et de m -{- r par-
ties perdues , qui auraient ruiné le joueur à une des panies précédentes , .
dont le rang est en général désigné par m -f- 2 r, r étant toujours plus petit
que p.

17. Si l'on joint p — r parties gagnées , et autant de parties perdues , à cha-
cun de ces derniers arrangemens , on en formera de p parties gagnées, et
m •\- p parties perdues . qui devront être retranchés du nombre
ni-i^ap m-j-ap — I m -}- a p — a m + p -+- i

î ' ^"3 ■ 3 ~f '

afin qu'ap'.ès avoir donné à r toutes les valeuis possibles , en nombres en-
tiers, depuis, r = <î, jusqu'à r =p — i , il ne reste que les arrangemens
dont le nombre est désigne par ^*^ ""*■*'' .

;. 8. Chacun des arrangemens dont nous venons de parler en donnera de
cette manisre un nombre exprimé par

' p — :;. =■ ^ î p . — 2 r~'l 2 $ — a. r —t p — r+ t t

I- ' i 3 p—r '

,( y )

à cause des 2 p— 3 / parhes qui! fuul p-irtager en deux sjroupes âe 0 — r
|»ariies chacun. On «ura donc

ip — 21- i f —2 r ~ t i p — 2 T — s j> ~ r -^ i. /C '«-}•»'■;

I i 3 p — r

pGUf le nombre 4e5 arrar.gemens à retranchero

îç. Faisant successivement r r= p — i , r rr: ^ ■— 3 , r rrs. p — 3 ^
etc. On trouvera pour les différentes valeurs de i'expression précédente,

*- A *-!a ,i-l'^A , etc.

d'où il sera ais<^ de ccnclure que

3

p

_j_ . («-H »»— 1) ', 3 . (m-t-îj^ -4-' 6 A .t ,fThv-5.

I la 1^3

I ' 3 ' 3 ' ? — ' ^^^'

On peut diviser en haut et en bas par ^ — r le terme

2p — ar ^ ^ p — 3 t — I aj? — ar— a F ~ ri!"-i i^"'^^'^^

et faire une réduction analogue dans les termes précédens , ç[ui sont de ia
Tiiéme ibrme. On changera ainài l'équation précédente en

I " a * p

(m-hîf— 1) 3 («-^1? — 4) 3 /, '■■i-rif — 6.'

— 2 A — * 7 A — 2 7 • - À — ....

- âp — 2r— I ar— ar — 3 ap — ar— 3 o — r 4. i Cw + i'^>

— •» -^^ -^ ■— "'- ^^ A — etc.

I 3 3 ff — r — I

vic. Pour avoir une valeur de A ' "^' indépendante ^^z quantités

A , A - A , A. , otc.

On observera que le joueur ne peur se ruiner à la partie dont le rang est
désigné par m -{- ^ /> , à moins que les m -\~ z p — i parties précèdt;fetes
ne leussent réduit à n'avoir plus qae |- de sa fortune primitive , puisque
nous avons exprimé par cette frstticn la somme qu'il joue à chaque partie,
I! «sr nécessaire pour cela que sur ces m -\- i p — \ parties , \ y en ait
f gagnées . et .77 -f p -^ i ^)erduej, On foit d'ailleurs que le ncaibre des

( i )

r',,rî"îf"' ^f ''■'"' ?"'°" P'"' ^°""" « ^« F'^f'^s, sans supposer «u'au»
cune de les au rume le joueur, doir être égal a celui des aîraT™,
de p parl.es gagnées , et m + p part.es perdue' , dont le nombre elt^tepré-

nZfs ^Z ^""''''''P"'5'ï"« !=hacun de ceux-ci se forme dun des pre-
miers, en y^ajomant une part.e perdue. TiroBS de cette considération ^tLe
yaleur de A "" ''^ que nous puissions comparer avec la précédente.

2.. Le nombre de tous les arrangemens qu'on peut foire avec m-i-zp^,
part.es, en les supposant partagées en deux groupes, l'un de p parties
gagnées, et 1 autre de m +p - i parties perdue f est en genérafégalT
m -t- a p — I ^ m-j-ip- 2 m + ap — 3 _ ^ , m-f p

OU ce qui revient au même à
'"•4

i » 3

3 p

p _ ;»+j_p-^ ^ m + ap_a in-fp-f i

Il ne s agit donc plus pour avoir la valeur de a'""-''\ que de soustraire
du nombre exprime par cette formule, le nombre des arrangemens qui
auraient ruine le joueur des les parties précédentes. Ceux-ci se forment
évidemment des arrangemens de r parties gagnées , et m + r parties per-
dues , dont le nombre est représenté par A^'^^'^ en y joignant
a^ _ . r — , parties , dont p _r gagnées , et p — r_ i perdue!, ce
qui peut se faire de ^ o r r^ «w», t^

^P -^'-i . »p-tr-^i ^ zp^ 3r-3 F-r+i

I a 3 — :;;

manières dilTérentes, '' ' ' '

22 £n raisonnant ici comme dans le calcul précédent, on verra que le
nombre total des arrangemens à retrancher , se trouvera en donnant suc-
cessivement à r toutes les valeurs possibles en nombres entiers , denuis
r=p — I , jusqu'à r = o , dans la formule *^

ap-ar-i ap-ar-a ap-ar-3 p-r+i' («+ao

» a 3 p — r-i A

Si l'on réunit ensuite tous les résultats ainsi obtenus , savoir :

'^ >,A *7'I^ ,> etc.

•n aura

3

I 7 * * A

P

( 9 )

a^— ir — I ap — 2r—î z p — 2 r — 3 PjZi_ltll A*^" 8tC,

3 P

En doublant B'jus les termes de cette équation , on trouve

C'»-i-îp) zm4-2p m-f2p— I m-f ap — a "-j-f 4-1

2 A = • • • 5 • . ^ *

I a 3 p

— aA — 2|A — -^Y'jA

et en retranchant de cette dernière équation celle que nous avons obtenue
précédenvment

(-" + 1?) m -f ap m 4-2p — r m +2p — 2 m -\- p ~\- i

P

— 2A — 2^A — af'^A

2 ' »* -^'•- t , 'P-'^-» , ap -ar-3 ^ p4-''+ t ^'^ ""*" ""^ '— etC,

I â 3 p + '— s

il reste

A*^""'^' m m-f2p— t m-j-zp — ^ "» 4" P + ^

T ' ~ ' ■ 3 • • • • - ,

fm + ap)

Cette valeur de A , remarquable par sa simplicité et 3on élégance ,

aurait été facile à trouver par induction , mais l'analyse précédente a l'a-
vantage de la donner d'une manière directe et générale.

a3. La formule que nous venons de trouver n'a pas lieu seulement 2
l'égard des divers arrangement qu'on peut donner à m -\- 1 p parties , par-
tagées en deux groupes ^ conformément aux conditions de la question pré-
sente : elle pourrait avoir une infinité d'autres applications. C'est elle , par
exemple, qui donnerait le nombre des différens produits de p lettres, qu'on
pourrait faire avec m -4- 2 p lettres , en s'astreignant à les ranger suivant
l'ordre alphabétique , et à choisir la première lettre de chaque produit ,
parmi les m premières, la seconde parmi les m~{-i premières lettres,
la troisième parmi les m -f- 4 premières, et ainsi de suite. Je ne m'arrêterai
pas à démontrer cette proposition dont on appercevra facilement la liaison
avec ce qui précède , si l'on fait attention qu'il faut pour que le joueur ne
se ruine pas avant la partie dont le rang est m -\- 2 p , qu'il gagne au moins
ane fois sur les m premières parties , deux fois sur les m — f- 2 premières
parties , trois fois sur les m -+- 4 premières , et en général r fois sur les
m-J-2r — -2 premières parties; car s'il ne gagnait que r — i parties, il en

B

24- i^e nombre --TL . "» + ^P- i . w^-ap.a m+p + i
«lmr-.c • -r * " i ~P — ' ''es produits d2

^^ > — :. — r. z. w-f-p 4. t

qaà l'égard du premier facteur, où le terme -J_ , ^ '

tiops restraignent donc le nombre de rL Ir I • / ^.""^"^"^ ' "« c°ndi-

pourra devenir 'rès-utile aux proer's d7 1. T. ''°? ^°"' '^ considération
, , , - ^^""^ '^^ ^2 théorie des probabilités.

2b La sftrie des nombres qu'on obn^ni- p„ .
.F:=x.>, ^==1 , p^,^ n-3 etc Prn *"PP°""f successivement
.r.; '^^.,,,, ^.,^;/— ■ ''^^•' ^^ *î"«n peut représenter par

"^^ ^^;:::.ïïrt:;:r^^à;i^ dépendent ^.ne Wule

s«ire de cet ouvrage, à donni auKTLnf, !• ''""'^ "°"^ '^'^'^^ d^"^ '^

-lu. qu'.i serau p^ut-êtrHSa;: d!:b;:n:r:rL:nr'^"" " ""^ s^"^-

a£. On a d'abord en transposant les termes

p— % r

i.p — i r ^3.

etc.

de !. première vafcm que nous avons trouvée pour a""^''' p-

(. + ,,;, („^,^_^^ r;„ + .,.,/ ^ ' lequation

3

-V .ii^^ii-- . !Zr.!^^ . ^p - >>•-. ^ p_, + ,(„ + ,.,

3

^LjLi£ . '".4- £ P - y w-t-ap - a

p— r -|-etC.=:

1 '"-^'^-^^ [ I ],

qui n'est quun cas paiticulier de la formule eénéral/r^-n^

occupons. iuiiuuie generaJe dont nous non»

27. Pour obtenir cette formule . on substituera à ^ """''' ,, ,,u,.

( Il )

et on aara on faisant passer dans le second membre le terme qui en
résulterd

_L- jP-^^-^P-^^-^-f-^'-* . . . P-'"+^ a'"'"^''\ etc —

"7" , a 3 p~r "T" ' ■

s« + 2p m + ip — : w4-ap — a ni+p4-'' '■" n»-f-ap — i n4-ap — a gi-f P-f '

J ' l 3 p I a 6 p

2 p TT. -fap — t 777-4-2 p — 2 m -j- p -^ 1

xZ. Si l'on se rappelle que

3. p — 2 r jp — cr_I ap— sr — S P - ^ •¥ '^ .

J • l • 3 p-r ~

ap— ar-i 2p — ar — a a p — a r — 3 p -• * -4- >

2 ^- • ^-^ • 3 ...•.• ._,_,»

il sera aisé de voir qu'on peut en didàant par deuï lous les termes <ie

léquation précédsûte , la ré-iuire 2

A -4--A 4-|.^A -+-

ap-a7-i ap-ar-. ^ »P-^'--3 ^.., P_ZL±J A^"'' "'4. etc.

p m -4- î » — I 771 — J- 2 p _ a ffi -4~ p ~f~ t __
r â ' à P

m -+• ïp — t K-f-ap-a m -f- a p — 3 m-f-p-f-i

I a 3 p — 1

celle-ci devant aroir" lieu pour toutes les valeurs de /> , sera encore rraie ,
si l'on y substitue p ■\- i à p , ce qui donne

A 4- J A -4- ^ . A A 4- I . -*. . f A 4-

ap — '^if^ tp —ir _ ap— ar— I p — 7 -4- a f '^ + » »■ )

T a 3 p - r "*"

?l. -^g p-f i 771 -J- i P iv» -{- 2 p — 7 «-^ p-|-a ^

X ■ i * . 3' ••■•' = '• ^ • Liji

B3

C 12 ■)

qui est un second cas particulier de la formule dont l'ëquaiion

ap — ar ap— ar— i ap— ar — a p — r 4- i ('" + ^'')

-\ • ~ • — — T. '^ A _i_ etc- =

m-f-ap m -i- 2 p — I m+ap — a m + p -\- i

I a 3 p

nous a offert le premier cas

29. En comparant ces deux équations , on voit qu'elfes ne diffèrent que
par les numérateurs des coéfficiens qui multiplient les quantités

A > A , A ) A . . . >

Cm + ïr)

A , etc.

et que tous les facteurs de ces numérateurs ont augmenté chacun d'une unité,
par les opérations qui ont conduit de l'équation [ i j à l'équation [2 ]. En
retraucliant la première de la seconde, et faisant attention qu'on a, quelles
que soient les valeurs de m , de /> et de r ,

3 p — z r ■■\- i ap — ar ap— ar — i p ~ r -\- 2 ap— zr ap — ar — i tp-zr-z
T 2 3 p-r~i a 3

p — r-f-i 3. p — z r ap— 2/---I ip_ar — a

p — r » a 3

p - r — f- 1 r — r t p — 2 r ap — ar — f ap — ar —a P — '' ~4~ *

p— r--ip — r I a 3 p_r— 1'

m-fap-}-l m-\-2p m-\-i.p-— i m-j-p-fa m-|-ap m-f-ap — i

I a 3 p l'a

m -\- ip- - a m-\-p-\-\ m -[■ 2 p m-\- 2 p -- t m4-ap — a m-4-p42

3 p I a 3 p — I
on irouvera

A +^A _L-É.iA _L....'.

• 5£J^i: , .''P-^"-' . iFT^'Jlf .... P-^+''. a'""^'' V etc.
T^ ,1 a 3 p_,._, '

m 4- ^ p m -f a p — i w -}- a p — 3 p, _[. p _}_ a

1 a 3 • • ■ — —

3o. Cette équation devant aussi avoir lieu pour toutes les valeurs de p ,
on y écrira J9-+-I au lieu de /> , et il viendra

( ^3 )

*• 1 ' 2 ■ 3 ' ■ ■ p-r ' ^^

n ■\- z-p A- 2 ni -^ J p 4- ! m -j- 2 p 7n 4- p + 3 p o -,

— : ' — ; — ~3~^ — ~p -^ ^^

qui est encore de la mêaie îorme que Icî équations [ i ] et f 2 ] , .et n'en
diffère que par l'augmentation d'une nouvelle unité , que les opérations par
lesquelles on a passe de l'équaiion [2] à l'équation [^J , ont produit dans
les numérateurs dîs coefficiens< On s'appercevra aisément , en considérant la
forme de ce* équations , que cette augmentation en resuite nécessairement
toutes les fois qu'on retranche une équation de cette forme de celle qui la
ijuil, et qu'on écrit ensuire p —h i au lieu de p dans l'équation restanre.
En exécutant ces opérations sur Icj équations [ 2 "j et [ 3 ] , on obtient

4-3 i? ~ ^'^'. xp ir^i F-r + ^ A'^'^^'\

3 p-r
"■■-j-2p4-3 r-. — ^f — ; n-{-a.:4-I 'i -4- - 4- 4

etc-.

et airsi de suite.

3i. C'iue augmentation d'une 'iniie dans les ntimérateurs avant lieu s
chaque irausiormaticn successive, si l'on leprésente-par u le nombre de ces
translormations, à partir de l'equaiicn fi] -.chaque numérateur aura augmenté
de ù , et la dernière transformée sera

A-

"^^-^'+i±i , -±2 a'^^^'-^'4.

, u -f î p - I

'( f4 )
eomrae unr formula générale qui comprend toutes les ëtjuations de même
forme que nous avons déjà trouvées.

ox. En laetunt à la place de

A a' , a , a A , etc.

les valeurs représentées par ces caractères ♦ savoir
A

<« + ::'./> ,„ Tj4-2p— I r!-j;-ap-., a "" '\- P "{" ^

3 p

X* a ' 3 P"i'

'a 3 p — i

"~ ' * s ' 3 't

la formule précédente deviendrait

it m -4» a p — I ?n-4- a p— & m-{-p4-î j^

' ■ a ° ^3 p '"

M -t- 2 m « -f- 2 D -- 3 ;!J -+- a p — 4 «i~^p

■^ ....... _ -•_£ _L

3 ^ - a . •"

-| '«+'f-3'' ''4-_J>>-»r-t tt-t-ap-ar-a, u4-p->-f_i m m + ar— i m + ar-a m+r+i

.' ^ 5 ;'-'■ 'i' 3 ■ î '■■ r ^

etc. ,n4-gr4-ap ^^"/i-'"-f-a,p— t u -f m 4- a p— a u -5- m -|- p -f- i

'mais cor.îine CPtt« transformai ior la rend beaucoup pJus compliquée, nous "a
IdissMons dana les diOerem^s appiicatioRs que nous ferons de cette formule ,
sous la foire on cous lavons dabajd trouvée, «t nous y coasidererons

A , A , A A , • • • • A '

comme des symboles destines a désigner d'une manière abrégée les quantités
qoiL représentent

l3. On poiurrii croiro que la démonstration précédente en laissant la
liberté ilaàsigtur a ;/ !d valeur qu'on veut parmi les nombres entiers positifs,
11^ p^erniei pas tle tui donjier des valtur? ri3gal:vts ou fraciionnaires , mais
CM se convi'incT* aisemf-nt que la Vdieuî àe u , est absolument indéterminée ,
SI l'on fait atteuuon que lequation préredtntG ne peut avoir lieu pour touics
les valeurs entii^îrei nt pcsitixes de u s moins qu'en y eiecutant les opé-
ratici!; inciquecs , réduisajil les deux membres au même dénominateur, et
ordonnant par rapport a m , on ne trouve pcjr coë^ic»sns d'une mênie
puis-^ance de u dans les deux membre-S , deux {onctioxis da p ut de m
absolument identique.- j d'où il resuite uécessairement que iéquatior. est
encore idonlique , lorsque u hs{ fracUonnaire ou négatit.

3/,. On pourra donc suppoîer n -n — x . x ctant positif, et on donnera
ainsi à l'équation précédente la forme

"", — -~r- ' .: — -ft -r-

î ; 3 " JZ:—^ +etc.

._ j . ^ ^^ , . ... _ ,^ j .

OU 11 ra«\ emplover le signe supéiieui- quand ie aoTiibs^ mlrsenamé r esc
tel que p — r soif, pair, et le sif^ne inférieur quand /> — r esï impair, ce
qu! dépend du lông qu occupe dans le premier membre , \c terme dont oa
yeul calcule! la valeur à ) àide du terme général

-4- » - :^p-^ u f x-jp-f-ir-f-ï x -ip4-ar-f-2_ _ .f— p-ï-r - i ^"""♦"•^''^

I z 6 f—' '

qui donne immédiats ment tous les autrôs en y supposant successivement
r ir=p — I . r ;=sp — z , y=.p ■— 3 , e^c.

35. En donnant a x une yslriur comprise encre ces deui limites inelu
sivement

i( •rr-: ni -\— 1 ^J , ■< ^r^ m -f» js -f- I •
un des facteurs do second ra&mbre s'évanouissant , ce second rricmbre se
réduit « rëro, et le premier devient par conséquent «us5i égal k zéro. Si l'oa

( Té )

supposait dans la même formule x = m elle se simplifierait beaucoup, ex

tlonncrait

^(m + .n^ n,_a ^f'" + '''~'^ , m-4 m-3 ^(«' + î/'-4)_

- 6 m-b m-lt ^C^+^f-S)
I * £ • 3 "^

I m — 2/7 + 2r m — ap4-2''4" ' m — ap -f"*'' -|~2 m — p-^r—t. _1_ etC.

l'a 3 P~'^

,2 p 2 p - î 2 p — 2 P -*- ' 2. ^P ~ ' 2 p— 2 ap— 3 p+'r- -,

ï T 3~~ ' ' " ~~p I T 3 * ' ' p — 1 •- "^ -'*

36. Revenons au problême que nous nous étions d'abord proposé , et

{m + zp }

substituons à la place de A , sa valeur dans l'expression

Cm + zp) ^p

A

ir+O"'^'"

de la probabilité que nous voulions calculer > elle deviendra

m m-\-2p — t m + ep — 2 m-\-p-\-l <}''

3 p (.H-î)"'+^'

En faisant successivement p = o, p=r, ^ = 2, p=:r3, etc., on
aura les probabilités suivantes , que le joueur se luinera

à la partie dont le rang est désigné par m ..... . ^

à celle dont le rang est m -+- 1 ^ ^

à celle dont le rang est m -4-2 ...... H ""^^ ?^

,m+4 >
(«+9;

à celle dont le rang est m -4-3 . „ . . . "* m-+-5_ m-4-4 ?^

ï* 3 3 *(,.^, )-+<!»

et ainsi de suite.

37. Avant de chercher la limite de la série formée par îa réunion des
probabilités que nous venons de trouver , il faut démontrer que cette limite
existe, en faisant voir que si cette série n'est pas jconvergente dans toute
son étendue , elle le devient du moins nécessairement après un certain
nombre de termes. Divisons pour cela le terme général

pdx If terme \jrflcé<^fe'''t r-'

T.. „ -4- 2 c - 3 t; -<- 2 p - i >" -^-.'' . , ï ; .

nows aurons pou' quotient

et la série sera conver^finte toutes les fois que celte quaniitc $êîô plus pe+ife

que 1 unité. Examinons séparément les deux facteurs clunt elle ejc compasee

Sî? La fraction >i i^ même valeur pour tous les termes duna

même ^eri^- , pour trouver le cas où elle esr la plu.* grande ^o=s«b|e 00
égalera sa difly. cntiûlb a. zuîû, et Ion am- pqur déterminer ç leijiiation -

(i + gV 'k - h(' + ?.).^'J ■_-. ç,

ou"' rjomr-ri j z^ I et ie aiaiimum cherché • "-— - =— 5-, d'ou il suie

1 ■ ■ 5 ï t t (J ) 4 .

qui la série sera convergente routes lîs fo!S que l'autr^î facteur

( n -T- 3 p — i ) r p: • T- î p -- 2 .)

ne «urp:j;?fM-a pos quatre. La valeur du ce facteur ot^ptnd <lii nombrii p cie.5
terrrifcs qui se irouvent dans la série avant le lcriT!f;.gHnp<raL "mais; it est
aisé de voir quipiès y avoir exécute les mulf:!3Î/cat.iijn5; ihd.<juee:; j Oa
pci.'t le m----ir*; sous ia l'i-.wi.

, «* — 3m— <Ju-T-l

4-1 ,-- r

qui en molt,-iie qiiç quaue toutes les .fois oue p est plus gr-iai qu€

'^ ' '"■- -"- , ia séri>; dovient di;;-,c nécessairemeot converçeote ^és quoa

arrive aux ter^iiei pour lai-mii^îî r, surpasse c?tf>- dernitr'? qtkantit?.

Sg. f^îen n est plus lacilf, niisiiitenani que de trouver la iifuite de .la série
proposée

\ . 4- !L — I L. '" *" ±J . il >

1-— • r^ • ■ — rf — ^ ■ ■■ ^ :-- 4- ^'-^

P
6H et- <iiii révisut au mèmt

1- A ^ — ;,4.A 2 , -L.

- - . . . . -4- A

\''H-«/' ^

' C

C î8 )
'î sufTit pour cela de changer . dans chaque terme , îe? dénominaleuTS en
puissances fractionnaires , er de les développer par la formule de Nevvton ,
de n-.an'ère que les stries qui en ïésuUent soient convergentes , ce qui exigtj
quelles procèdent suivant les puissances ascendantes de q , lorsque cette
q-uantif4 eii ]>!ns petite que i , et suivant ses puissances descendantes quand
tlle est plu= t'.raade. On aura ainsi dans le premier cas

Kl'- -il) --H. — 2 ,(11+4') —m — 4 1

H- a'^--'"'

.r 4- i p - 4 . -^f 'PrJ j^ " + '''-'> p „ etc.
"• I ~

„ r-^y- "• A-""^''"'^- ,^ -i- etc.

'.h )

-^ etc. [8]

et dnns le second
(?+0-''--t-A^"' + ^> 9(5-4-1 )-'"''''-f.A^"'-^^- ïU-; + 0

• •..•. ...... -4- A 3 (^-4-1) -4- etc. =^

4- , __ -f. . _^ , etc.

T^ n. fl T" A. î -f-et

.. t±JLZl A-"-^'^'^^ ,-"-'• + etc..
-h A' '' ^""-P ._ etc,

~|- etc. £9

C 19 )

Ces deux ncvelcppemens qui ne diffèrent que par les exposans dont q e*t
affecie , peuvent également servir dans le cas où y = 1 , ils deviennent
alors évidemment identiques.

4c. Il serait aisé de trouver par induction que les seconds membres des
équanons [8 ] et [q ] se réduisent respeciiveraent à leurs premiers termes *,
en substituai'! il la place de

les valeurî représentées par ces signes , et en réduisant après avoir exécuté
les mulitplicatians indiquées; mais pour parvenir au même but d'une manière
directe et générale , il vaut mieux avoir recours à l'équation C^ J ' ^^ 1 ®"i'*
poser r s=; m -4- 2 i» , ce qui b change en

A -L — A -* : — • — t — A •*-

^ m-i-%r wt-f.ar-f.1 m-4-2r-»-i w-i-p-Vr — i C^+ir^ T* etc. rrr «
I 2 i p — r

1 es derniers termes de $*>n premier membre qu'on trouve en fats^nt suc*
cessivenient r=si,»-=:i,f = o, etease rapptiant qu<i A'"* ss= « , j^J„J

-4--S «I-4-6 iit-»-p-n .{«'-t-4?.^ *.-^f T."^;^ '*'*'t '*"*''' A"*^^^*^- "^^ "-- -

«i'où il juit que ce premier membre e^t préctïéiEâQt la même ùu>i% om^ Je
coéf^icieni de 5' dans l'équation [ î ] , ou de ^""""i' daus i'éqtjj'.iieti (al ;
les terB>es affectés de ce coéScient se réduisfcnt donc à 7eie- p c'^iit in-
determmé il en est necessaircîiient de même de tows jes tfcnn«s*|Hi *% lyeti^fint
d»ns les seconds membres 4c «res deux équations, après j daasi'ur.e et ««rés
5 "" dans l'autre ; il sufâî en effet de supposer successivement jj =aj ^ « j~- ^
etc. et on obtient

("» + -)

A — :! =0,

I

(* +4Î ( « + î )

A _ i±i A .u. » "•♦•' — o

' t - 3

etc. etc.

* Ce» premiers tencet étant x quand q est plus petit qije 1 , et — quari, -«1 ««t aius

o
grand , (a limitt dt la Ȏrio que nous examinons est con;lar.(e dans le premier est Ǖ

variable dan» l« second : en y écrivant - à la place de j , on aurait une série dont U li-
mite serait constantft on rariable, suirant (]ue x serait plus grand ou plus petit <;ue a, C«tt«
sén9 Téun>« i une fonction quelconque de x, en formerait donc une du genre d« celles
qu'on a nommées fonctions discontinues , et dont je ne crois pas qu Ou toit n et?î psi'vcnj
à représenter la valeur par aacon« combiaai»on de caractères algohriqoei; i'«xuro!3tan^
que fournit la remarque prtjcédentc , niontre la possibilité d'en avoir du raoins dos devo
l"ppe«jeni '.li séries toujours coîrerg<»nic£

Ci

p

( iC )

énwâtiofw iant- les pTein>ers membres ne sont ?utre chose que les ccsff.rjei-is
J<i <?es termes.

4j. Lori=que ie nombre clés chance? favorables au )'3J.iPur remporib a chaque
; parilt sur celui des chancfcs qui lui sont coiîtrairts , q est plus grand que i ,

Cf il faut se servir du. second développement qui donne ^""^ ou — ^ pour !a

liiDitû ckencUee, en. sorte <]ue ja prebnbilité de !a ruine du joueur reste toujours
f:x\i(i qii'il rjne soie le nombre des partieç, et pout n^-éme ctre moindre que la

probobiîito contraire 5i,-r— tsi plus peut que — . ou ce qui revient au

rneme S' q est plus grand que V' 2 *. IMiis ii Lut l;en observer que ce ces

oùle jei: s'il n'est pa*: un impôt établi par ie Gouvernement , Uoit être con-
JÏd^re comnit: un »ç( .Cgit au public , et conire î'eque! les lois sévissent av:;c rai-
Sun, est le seul où le jouour puisse évite- une roiue certaine. En effet, lorsque
ç est plus petit que i , ù iauj se servir du premier développement , et l'on a
1 pour ia iiinite des probabilités de la ruine du joueur : cet événement est
donc nioralcMieni ceriiin (7} Il en est de même dans le cas où les c'-ar.ces
sont ég'lcmcnl partagées , et où y étant ega! à i , les deux développemens
s arc orJ<^nt à donner i pourla rnérae limite. Il est aisé d^ sentir que c'est
u.iViqnônienr a<js résultats donnes p.ir le calcul dans Ci dernier câs qu'il laut
riier tour';* <pt applicniio^s qu'on peut^?.irede la t.hëorie mathénatique d'j jeu
a-ce-qtH jr pàF5e habituelleniCnt dans ta société ; car un jeu inégal né pouvant
présen'fr «iaucuVi côté ui; avantage plus' grand ■y^p■ le desavarra?,!-. qui ç'
^resulft de tdutre-, il doit y avoir dani le ccurs de I2 viç d'un joue'jr imt
<;(i&ippn5&()t)n flécessairè entre le cas où la probabilité se trouTr ensa
Laviv.ir n .celui où elle 'lui est contraire. Je ne p^rle pas des jcu^urs qui
.SQiU a>s(f i fcqjotfs eu assez dupes pour se mettre ■• oîontairemeni et constam-
men» djins l'un ou dans l'aiitre de ces deux cas , parceque le; premiei-; doiv.ent
étre:feprimes par l'autorité publique , et qu'il est si évident que les autres doivent
se lairniT , qi^il davieui peut-être inutile de le démontrer. Je me proposais sur-
tout dans est ouvrage de prouver que la certitude de îd ruine du joueur est aussi
conipitîte, lors même que Ja probabiiite est égale à chaque partie entre
lui et son adversaire. Cette vérité qu'on prendrait au premier conp d'œil
pour un p.iradoxe , résulte évidemment dt ce que la limite des proba-
bilités contraires au joueur , est la même lorsqu on pitnd q égal à i , ou
qu'on suppose qu'il est plus petit;. Il est à remarquer qu'on trouve aussi le
nTcme resuiîMt dans un cas où la nécessite do la ruine du joueur est encore
plus évidente ? et où quelle que soit la valeur de ^ , la probabilité de cet

* On peut aussi conclurfï fie cctto, r'ormaîe cjii'un hamme qui ferait inétier d'un jeu oli
il «urait un avantags déterminé , ot qtii ùe vo'jàrait pai q,!p !,i proi)abilitB de sa ruine pût l'o-
'owis atteindre un.Tpro.babili'ë connue et représentée par -i- ^ y parviendrait aisémeat en
ne jouant i.imai» que des fraciions ~ di sa fortim« dont it decomioatcur m fût plul
gtatid qac •—

( '-^1 )

^véneruent a prtckément la même Hn^ire. Ce cas est celui oi\ , commen-
^;nnt pir ntltré au jeu toute sa iertune des îa première partie , le joueur
06iiîinueiv;ic indéfiniment à jeu^r à naitte ou double , ensorte. au'wne seule
{iàvùe perdue suffirait loujour? pour le ruiner oomplettement.

4ï. Si i'ori continue, dans cette riQUveJle. h^pothèie , à repre'senter par
g : \ le rapport qui existe à cliaque partie rr.ire les chances £avorable5 au
joueur , fct celles qui lu' /ont contraires : l<=?s firobabili'.es qu'ii gagnera ou
<ju'ii perdra uoe partir j se~orvt tcuiours reftese^ntees respi-Gti^eraent,, par

Cl

Puisque fîîirrs la suppoçition arr-.'t-lle, le loueur ne p^'i'i -^ riyner à la derniers
d'yn nombre quelccr^q^t <• ne parties', que dans !e cas ou il perdrait cette
partie npres avoir gagne ■cures ies précédentes , dont ;e ViOmbre est exprime
par r — i , il est evilenr que ia probabilité de cet événement sera repré-

îeutee par le produit d- .— ■ tacteuis égaux à — — , et d'un facteur égal.
à "r~"" , cest-a-dire -, oar _l ^

faisant îf'cesjîvcrrer.t --i , î = -2 , ^•-.^:= 3 , etc. on trouvera les proba--

bjlites suivaûtes que le jaueur se ruinera.

\ la première partie . . . . ' . . ,. - . . « — , ,

* i3 seconde .... ..... ^ .. . ^

î
à la troisième ,. . . •"'^

ot ainsi de suite.

(î-4-?)'

43. La série qu'on forme ïn rftwn'.isant !".> prcbicCités qv^ nous venoiis ;
de déterminer

est évidemmeni une proeression par quotiefis , dont la hmite trouvée par
les méthodes connues se réduit à un. Cette limiue est donc précisément la
raérne dans l'hypotlièse que nous Temons d'examiner, et daps celle où le
joueur n'expose à chaque parue qu'une portion constante de sa for<uaô
primitive. La œnitude morale de sa ruine 'est donc k mêîce dans ces deux.
.4», et la seule ditferenc qui puisse exister entre eux , n'est que dans îe
r?prnbre des partie? quî donner.t , pour la somme deç probabilités cortraiT-e*
au joueur , des valeurs qui approchenc également de la certitude. Ce nombre
doit é're d'autam plu:- grand que ia somme jouee à chaque partie est plus;
petite. Ejîe pourra» être 'i^i-i% petite , pci" que la ruine du joueur e-îifresî-
■pi parue? quÊ les bot;A«;5 ordinaire j d« la yie n& lii pcrattieut ci eu-

jouer ; Çcsr ce qui «rrive à l>:«,d i^ c*ui q«i ne j'tTpcs^w q«s Oes pem»
mcap*bleï Je d.mmuer i^M-bieraern leur fortune ; î^te autre .T7.r;^UdS
}o«er conduit a une ruine cerfaiae. Le témoignage de l«perre«ce qui mit
depuis lun^.femp» m» cette w«e Ws ie 4out« , se trouvant c«Dirmé ^ ia
mamere la plus comple.te n»r \t» c«lci;b précédens, le but àe ce mëiMire
SOTJU rempli et , «ur.i. pu^ Jertnincr ki , s'iï a'éttk |«s nécessake, povf t,e
nen laisser d obscur sur r.eitc jheeiie , dezirainsT saîsi le ca? ot le, dtas
mem« joueurs jouent conratametït î'un cobim îautre.

44. Il faut dabord calculer l» probabilité tptQ run des deux iouetrn m
trouvera ru.«e i ia dernière dua pomhre quelconque de parties. Supposoti»,
daa. h vue de rendre le «Icu! pJu^ simple, que Ja somase jouée u>khmèaÀ
a dwqae partie , et qy^Ue soit un aliquote exacte de la /wtune de chaque
joueur, contenue «s fo« (ktu celle du joueur B . doot iu,u$ cskulonsht
chances, et n fo.s d«is [a (oriune de Time j^ieur C,m.n espriu.aor !e rap-
port des deux fcrtuties. Il esi évident qi:e daos cette «uppo^ition le premier
joueur ne pourra se îrouv*r ruiné quaprèî m-f.,^ partie?, âam p gapr.ées
et m -f-p perdues , d'où il suit queo repréf«iîant toujours par 0 : 1 fî;' rap-
port des chance, f«vor.bi«6 à ce joueur, et de relies qOi bi Wf coatraircs ,

f~^yn?T;eip«"»«ra k probafcîliié de cliicuo des âiTange«u.'.'J.« de ce»
,„_^_j^ parties, qui lai enJeireront à !« dernière partie !e reste ^c r^ formr».
Cette probab, rté est wédsément la même que dans ie proLiô«,e que rwu*
a-otisdejàresoJu, (n* «jetscivO; mais le nombre dt^s arrsngemens des
m -ha npaitJe», per Jeqi.el il faudra multiplier cette prol.abiiité, ne sera
pas le métns , parce qu'il fjudra exclure du nombre total des arranremens
de ;» parties gagnées , et de m-i-p parties perdues , non-seulement les arrange-
niensqui auraient ruiné le joueur B, avant la partie dont le rang est désigné
par m -4- 2^, mais encore ceux qui auraient amené la ruine de son adversaire
avnnt la même partie puisque le jeu cessant nécessairement dès que Tun des
leux joueu.s est rumé, ii n-=iuraii pas pu être coaiiiuaé . dans ce «s , iusqu a
oueur pour laquelle nou$ calculons h probabilité de la ruine du preniier

4 5. Il mit de cette observation que k probabilité de la ruine tîlin des joueurs
ne pent être calculée indépendamment ée h probabilité de cdl« de l'autre •
or, fa perte entière de U fortune du youeur C, simpose que h iwteur B ait
gagne n parties de plor <p,-H n'en a perdu. Cw éténement ne peut donc
arriver qu après « -4- ^p parties , ;, désS^ant lonjWTS tm nombre quelconque ;
et en sb-ppoîant q-je B ^ -a^.e a -+-^ de ots parties , et qu'H ïn ait perdu
P, ce qui àoime^^^^^^^ j)our la probabilité de chacun des arrange-
mens qu'on peut doBaér ï n -^ $ p p,nies , de manière à satisfaire à cette
cond.hon. ReprésenioD* en général par B ^'> , le nombre des arrangement d un
nombre quelconque / de parties , qui caujent la ruine du jotieuf B à !;. der-

( ^3 )

niere de ces / parties, et par C*"'^ , !t: nombre <Jes ■irringemens , qui amé-
aent ia ruioe de «on ^vçriiire à la même partie , e'» ne. comprenant dinî
ces arrangement qu« C6uv rjui a'oat ruiné ni i'ua ni i'autre joueur à aucune
des parties précédsfttes , aov» tmiocs les deux séries

' > v • • ' -t- ^ — ^- 4- etc. et
C — •'- — --4-C — ^^ — -hC — ^ T- -4-

...... .4- c (,^.^j«-r.

dont chaque tertn*» mdkj'ieEa îâ piobabiiits qus la joueys <!nM|tt^ sc rapporte
la série , sera ruiné 'a là f^artiô dont le raag tst i»îsigBâ par l'iadiae de li
eu dâ C dans le iséài^e terme.

45. Dans les Jeux séries l« «oç^cien» B ou C du premier terme
est égal à l'unité , car il n'y a <}u'un seul arrângtiîaesi de m parues , touits
perdues par t« jeae»s B , qui puiîse îuirwi? i^e joueur k îa itt*^ OAriie ; et
51 H'y â de mèm* ^'ua se^ii arïûsw;ea»?in vk n pHtw^s , toutes gagnéei par
le même juueur, f^ui puisse rbin«f son adter^aise à M pastie doût le ranj
est désiigne par a,

47. Pour trouver les relation? q«? «zisyeiît es.tr» les coè'fficknsies differens

terme* de ceî deux série?, on ohî^rT«r? que 3 duU çjre ee;^' nu;t

arrangemens de p parties gai»néit-* , et d»i r» -f-,9 parties perdues , qui restent
après qu'on a «té du noxabrû tyta' de Cfî rtrraagemeiis , savoir:

P

1". ie rrombre d*s d!rr»ngemerjs qoi sappeïeraîent ii« joueur B ruiné à quelqu'une
des parties précédentes. On tr<&t>vû;a , cûinme dans ie premier problème, que
nous avons résolu , et pour ie» mêmes raisons , ^ue ce nombre est exprime
par cette suite de termes

• 1 t • j I 1 3 3 •

ap— af ap — if— i Sf—ar-^» p—r-iri JJ

/a-t-i r)

1 c . a . J P ~ >■ **

r M )

au' cft qu> revient ai' même , par

fi'. (^ nombre des Errangemer.» qw» -aurainU ruitic la joueur C à l'une des
pirties piécedenteï. Pouf !e trouver on i-epresenteja en gênerai par m -f- 2 i
t««.rangd.c celte partie- L'arrangçniem des /: -f- 2 ^ parties quelle termine,
étant nec^ssairen^et't canmose de n -^s parties gagnées par le joueur B ,
et de 4 panier perdi^î par le mémo joueur, il hudra y joindre p — n — s
«artres gzçuees , et m-4-p — j parties peruues , pour en iormer des arraa-
getnens de p parties gaenée"; , et de /rz-t-j» parues perdues,; ce qui peut
sexecuter peur chacun des arraiigerùe-K 'iout le nombre est représc^nt*

p«T C de

i i pat

oianietes diltérentes , puisqu'il y à 2 p -\~rr> - n — zs pàihes > prîvi,»gef en
deux greupss Tun d-î p — « — j' 1 et 'aufi'f» 5e m -4- p — i^ pan^s. £n

( 1 + 1 1 ;
ïnuUiplidiit l^; tiombré que nous venops Je trouveji par G , «in *

a jP 4- Il — H - » -f , « pHhni " n^s.s—.t j, _(_ r. — < -t- ^ ^( •? -i- 1 i >

48 II sa»U m;»intenanr de donner à 's toute'; îes valeurs en nombre? er.ii^r%
£onti/3 qui ptnve;it s accordei avec l'état de la qu<;5rKin , pour icunir tooi'
fest-ei'tnes-qui en ré?'jlteroiic >:vec ceu;c que nous'avcnt trouves tout-a-i'iieure
cl en ret'aochef la sumine dn noriLre ioîjî! i*^'.'!: £;var;g';mens

•ft . fi . 3 p

Qr il est évident qu-^^ !è nombre p ■— n — t de? parties gagne<^î p^r le joucm
B, depuis la pertie doni le rang^ est exprime ]>iir n-\~2i / juïqu'à ceile
dont le rang' ejf désigné' pue r: -}- 2 p ., av pouvant être inogauf, ia '-.îu'^.
|;rande valeur qu'on puiv^s donner à j , est .' "=^ p — ?? . iaisûnt succe5; ,;■
yement x = p — n . ' = p — '.- ~~ - i f '-"- P — *"• — ^ , etc. , ce <-(i>i

■^ -+- -'î f = ^ p — '' , f' ^ /f-^ in - - n -- 2 s = m — !>~ ,t ,
jr -f- 3 j = ? p — /" — 2 . et a !? -+- "- -^ - #r — j < =:r ^r- — |- ,-. ~î- 3

* Lu prem^ero d« cv.i ri'-ux formules dunn-* ^,l\, ,i^ r^fiiilMii , la serot It» plus d*
lir^pliriré <iu ê»icu1 , Binsi <ju"on-l a d>^ja vu à 5 (igait* de., fo-mul-s aiv !.• ti-o du problème
pr«ioèdenl--. 'cen ce qm nous dé ter^') niera i^ .niploji.| i.nlôt lune et ton+ôl 1 au»re .
auïvaat rejti^ence d^s et;.

( 55 )

etc. etc.

•n aura cette suite de termes

(1*-»; „_j_„_j.j (i.s-«i-i) ,„^_,_j.^ T. -f ■:-♦-> .iJ'-"-5' ,
^ -J-. j Q -^ . _ C ^

^^ ap-f J — » — 3i ap-^ff. — -i — lî— I p-4-m — s4-i /^

et on en conclura que

O «4-25 T -f- i f' — I »I 4- î J — â

= , • ^_ — • 3

2 B -^3 iB — 2 L.tB

c

,_„„, — erc.

— c'"^''' iJ'-i—'r''''"'"^^ 'i±i±.-^ iszmJ ~''~^~'

— J—1 1 . •- 1^ ,:;. — etc. I te

4^. Si l'on £ait pc>Uî sbreçcr v. •>- i =4 , c? ::ui dcnr.c
m — n = k — ' 2.1% , et ap --t^ .'^ — n—— 2 s =Â -f- s (/> — •'! — s) t
on obtiendra ,

I .1 3

oî+i; — ;■> i a + zp — i: . , 'js-y-:» — 6;

. 3 _:

!

ip- ~^~ '• i ---4.

— - û — e;c.

:■ — 1 —1

, r^;--:-!) ,_^^ .^3 Cl/"-.--»?

' — • — - • ■"' ■ c ■ — ^etc.itî]

D

( <5 )

5o. II est facile de trouver une autre valeur de B , en observant que

if ;oueur B ne peut su ruiner à h partie dont le rang est marqué par

7,1 "^ 2 p , sans avoir été réduit , ia partie précédente, à n'avoir plus que -

dô ce qu'il srait eu «ntrant au j«u; <J'où iî suit que B est aussi égai

atj noïnbre des arrscgernenî de p parties gagnées et de m -+- p — i parties
■peifdueî , qui «ont ruiné ni l'un ni l'autre des joueurs à aucune des parties
pi'écédenl&s -. sans -Êelt* c*>ndi:iùn le norubre de ces arransemens serait

i i 3 p

dont il faut retrancher, i*. la nombre de ceux de ces arrangemens qui
cnt ruise le joveur B avant la ( m ■^^ 2 p )'*' partie , nombre qu'on trou-
vera rci comoiô dâins le problème précédent , exprimé par la série

E 4- 5 E -f-f • * B H-

• • +• — ; z 737", ^ -H etc.

2°. tous les arraagernejos qui supposent au contraire le i®y«ur C ruiné avant
la mémfe partie. V>ins ceux-ci les n-^2.s premières parties que nous sup-

posons susceptiL'e» de C arrangerr.er.? différons , sont composées de

st -f- s parties gigr^^s pw le icueur B , et ûè. .s parties perdues par le
même Joueur; ù lauc donc y joiadre p — n — ; parties gsgnees , et
p Ht- m — - parircs perdues , poor avoir les aniTigeniens à retrancher ;
ces z p -,_rîi— /i->-2/7— 1 parties pouvsnî se -partager sînsi, de

i i p — n — $

manièrei dilierentei , od aura Te^preîslon

~^. ^ , ^ , ^, ___ Q^

». ; p — s — t

■on il faudra fane suwessivemer.t

/ = ff — .1.. ::r:p-~-n — I , j s=: p -^ n 2, CtC.

ce. qu; donnera pmtr r. -4^ j j et pour a. p -4- m —— n —a s les mêmes
valeurs cjuG ci d^var^t (4S). On en conciurs aisément, en réunissant tous
leî termes qui reïT^lterofit de ces diverses subsjitaûaïy , que k nombre
que BOUS vouloqs calculer esr représenté par ia sene

^''~"~'\ '"-t-»-»-3 «^.?-j-a ti^-''-0 ^
^ . . j^ ^

( -'7 )

, ap + m — H — it—i ip-hm — n — 9t —a p-4-ni— / z^'^''*'*'-' ,

• ••-+- -^ ' — ^ • • • ^ HH etc.

I a p -n— /

on ce qui revient âu raême (4-9>) par

r-t + io

C -H etc.

*-f-»(p —■ — /) — 1 t-»-a(/> -n - i) — a A^j,_n_f
' I a ^— B— j

il suit de tout ce que nous venons de dire , que

(« + !/) n»-(-ap— 1 m-i-ïp-a m +

B = • ..... —Z.

' ' P

B — -B — ^--B'

I i a **

S «-^-1 -r^rrTB -etc.

< ^ »■ a

i4-a(p-«-0-i A-^-ll'f— n- f)"-i A-f-e — « — *_*"+-'> ^ ,

_ !_ , . .., — I C — eic.ri^j.

I » p—n— s l-j-

5i. Si !'oû double cette équation , et qu'on en retranche l'équation Piî],
tous les termes affectés do

B ) ^' > ^ » D j etc.

disparaîtront , et il restera

(■+»)> ) 2 m-f-ap ^ m -^ i p — i m -t- s p ~ :. m-f-p4-j

~~' I 3 ^ ' " p

(V-») at-4-a ^<»'-«-^- îi-4-4 i-4-^ J*' — -'•»

— a t^ — _— _— v^ ,^ —

I r a

a4H-3fp-n — O »^-aCp -n_y'.- '. A^-p — «-« ^-i .,<"+*-'>

• • • ■ ^ afr

I a il - ,1 -- S ^^'^

jn-t-ap m -Ha^ — I m -»• a p — a w -f- p -t- i

X â ' 3 ' ' " p

D 2

( ^5 >

+ c H p~ c H -■ c

-J — ■• ' ■ ■ ^ — ^ — •• ^-^-î-^^ G -r etc-

nui se reJuit a

(•B-i-i/') m ji_j.jp_i m-f-îp — i rT;-f-i.-4-

2 3

2 ' 3

Cn+iJi

■"i" a 3 p — « — j • i. j'

(n)

';. Si l'on fait attention que C = i , et que tour terme de la suite
de> C . do'.ir l'indice serait plus petit, égaierait zéro . on verra facilement
que tan', que 2 p — rz est plus petit que n , c'est-à-dire tant que;? est plus
pttit que /7 . on a simplement

B ■ =-

3. -i j.

( «. + a ,- '

qui f.^1 précisément la valeur que nous avons trouvée pour A dans le

problème précédent , doit il suit que les premiers termes de la série ôes B,
sont les mêmes que ceux de la série des A. Pour déterminer le nombre das
termes communs à ce? deux suites , il suffit d'observer que m -f- z p repré-
semani toujours l'indice d'un terme quelconque, leur premier terme répond à
p = o , et le dernier de ceux qui sont les mêmes dans les deux séries à
2 p — n ■=^ n — 2 , ou p rr= n — i , ce qui donne n termes communs ;
celui q'/i vient après ces n termes correspond à pz^sn, et ce terme, qui est

(m-f- m)

représenté, par B , se trouve par conséquent égal à

r ' "~~^ '^~' 3 ' * ' n, ■" ^ =

T ' "~ î " 3 n ' '

valeur moindre lune ur,ït>i q'je le. terme correspondant de la série des A ,
, (

,_(.n-i-în) ^ m ~^- sn~ 1 m ■4- in — 2 m •^- n -i v

3

( i-9 )
53. Si l'on retranche 1, équation ("ici] de Icquatîon C'iJ ^pres avoir
rais celle-ci sous la lorme

■ 'I 'la '

1 : p - « - i

tous les termes <i<^ l'equalfon restante s^ronf <ii/l»ib'e&-paT.2 , tit l'ûa obtiendra
après avuir ezecir.e ceiie dw'si'on

i ï 3 p"-j- — r ^^

ri î

^— ■■' : £— T a .c etc Vis].

1 ' J fi - Il s —T \-J

Cette efiuation devant ayoir fieu pourloxiteî le; valeurs de /> , 00 pourra y
ocnte /> -4- T au l'eu de p , et l\n aura

.^ _ __. __^ ^7^7- ti 4-etc =

■" + *• f 4- I »> -4- * ;» I" + « /— r <« 4- j? -)- 4
_ _ ^ . ^ - - ,—

( 3d )
u j - <^ -• —-- ■ ~— C

^ H- 7 "LifcJ idti ^"' '' " • ~ " •

^. ___. __ .^ —._____ X...(:< -etc. [«g

54. En comparant cette équation air«c l'e^ijaiiçn f 34 J qui est Ja même
choie que

-h ; -^-— ; -^^ c ^ 3 ' -felï. =

, : ^^ ■ ^-- — C — elc.fr

on ^'apptrcevra fncile'npnt que ctjs deux qUi«:<ons nd diiferenj- que par ic;
riiiniejateiiis des coefficieas àor.* tous les facteurs onr ;»uçnierilë d'une tinif'i
par les opérfitions qui ont ccnduif de i'equaCi^n [1.43 à i'eq'.iatjon [ i^j.
Leî cocrpcien.; de celle-ci fipjouYent le même dtânoninenf. st en retranche de
ceti-r equanon l'équation [ t/] , et qu'on iubstitiit ensuite p-f- i ^ p , car on
a ç^r.eralenienc

j f — 1 ' -f- ' ï p —3/ ^ p — : / - 1 j, . , .f- j

^ "7""— ~

%p — t r a /> - â r — I 3 p — î ?• - j p , -^ ,

p _^ IF," Lî-'' a p — -. r*- ! a î - 1 . - > p _-..)_ 2

3

.0 —

1£-I.*.' ap — AT — _î sp — 3- -, : p- r + 3

3

P

i—l/* w 4- a 6 - 1 «-+.ap— a ' -«-Up-^,

t 1 ^3 ' • • • • • - ==

[ 3« )

m-f-af , w-f-'f - i ^ «w + ap — a ...... ""f f^lf ei

I ' a ' a . . . . • - ^^^ ^

i-i >(p — n^«)-}- I t-faÇ^— n — y) ' 4- a ( r — r. - j i — i A -f p ^n_y-|-t

I a 3 p — <. - f

i-^i(p—n~s) A + a(f — n - »)~i Ai-j- a(f -< — 5'} — * 4 4-p — 1 — «'»f- »

1 3 'j p — n — f""

A-t-s(p — n — t) _ A-f a(p — r -3^ - i ^ >-f a (";>— .. — <j — 3 ^ 4- p —ixt s-j-i

1 a î ' p_n_»_l

ce qui réduit l'équation restante à

. 2 p — i r apj-arj-j » p — a r — a ^ »• -f" a p^i+^y)

"^ I ' â ' 3 "• p -r-i H- €IC. =

m -f- t p ni -f- 2 p — i »• -f- 2 f — 3 , wi -|.- ^ -4- t

^ ^_ .."::. , C — erc.

15 -1-75 -rr*i^ -r^'â'j^ -r

âp— îr-f-î an — ar-f-i ao — sr p-r-4"3 _f •» + !'•)

i ^^ "3- '-ZT B -h «c. =

m-l-ap-4-i m-+- 3 p -4- I 7n ^- î p ai H- p + 8

j a 3 ' p

iip-it) A-^4 (1/. -<!-/; fc_^.6 *46 CiA— »-4) i 4-S l-fy >-'-6 (ir-n-(î;

j^ -i-i(p — /i-»)-^î A<4-a(p-^n — r)-f 1 A4-a(p— n — f) A -4- p — u -/■ J + 3 f '>+-'^
• • ■■ r ' ••• C — etc

1 ? J p rr-A — t

ei- y écrivant ^ -+■ i au l»eu de p.

55. Si Jon i'ait attention que cette augmeniaiioji d'un unité dans î&s facteurs
des numérateurs ds ces équations , est une suite nécessaire de leur forme , on

( 3a >
sn convaincra aisément qu'elle a lieu à chaque transformation qu'on peut faire
successivement , çt qa« les différentes équations qui en résultent ne sont par
conséquent que des cas partictiiieri d'une ionnule générale qu'on trouvera en
nommant :.' le nombre de ces trar.sfoVmations , à -partir de l'équation [^ 17 ], Il
suffira d'ajoutet u à cliacun des facteurs dos numérateurs de cette équation ,
ce qui donnera

pC-'+V) g -fa „(-+«-.; „_j_^ U^i (r.+'.y.^) ^^(5 „^.5 ,4.4 /a4^_<,

i

u -f M 4- a p n -f m 4- a p — I 04 t; -f. 2^—2 u-t-m-4-p 4. i

1 * a ' 3 * ' ' ]p

''■'-"^ u^k + ^. '^P">~i> a4^X+4 bH-*H-3 ^»-»-4) a4-b46 &+«+5 i4-«-j.4^(V~»-«)

. . , i ...... ^ .

56. Quoiqi^e. la démunstration précédente ne s'applique imtnédiatement
qu'au cas où « est un nombre entier positif, i' est facile d'en conclure en
raisonnsFftt comme nous l'avons fait à l'égard de la formule analogue du pro-
blême précédent, qje celle que nous venons de trouver a aussi lieu quelque
soit la valeur de u ; on pourra donc , afin d'avoir immédiatement le cas le plus
simple , le seul dont nous ayons besoin , supposer que u=: — k'y ce qui
donnera -^

I ^^i*i ''"i'a'3 "^

ï a. 3 P — ^

P~k~ 1 r~i-2p-li_~i m-f-p-A-f-i

-f-€tC.

"» H- a p — A m 4- :

p
I ^ ■ î '^ ^ • T ' 3 ■ J ^'

I ■

=s '>-*• a ^.~ a - 1 sy^n^a p - g -f t

etc.

( 3?,

en inettaol; à la pkce de A sa valeur m -^ n.

57. La Forme des coëfSciens du premier membre de cette équation , fait
voir »ju'ily existe une lacune depuis le ferme pour lequel 0. p — ar — fr=^o
dont l indice m 4- 2r-=?n4-2p — k = 2 p — n ^ jusqu à cului pour l<5<juel
£ ~ j - k -{- t =-" o , dont l'indice m -{- 2 r rn::: m -^ 2 (p — A -f- i ) ï^
2 p ■— m - 2 n •^ ?, :^= 2j3 — «-— /<-f-2 , Ces terme? , et tous les termes
intermediairas se réduisent à zéro, parce qu'un des iac;eurs de leurs coéffieiens
s'évanouit, le premier membre se trouve ainsi divisé en deux parties , dont
h première peut s'écrire &insi : '

(-''/' fc_e :"'-f^^-^j i-4 ft_3 (''M;'-4J ^^6 A -f> fc-4 „^"'-'-*''^^> ,

\ «T •- - ■ . — 'I • — 1 — t:^- — • • • . ' '■ H

^-ir.l

_ B X ctc

— 1 a 3 p ~r "- T

jusqu'à ce quon arrive à un terme dont Je coefficient s'évanouisse-; la seconde
partie du premier membre doir commencer au terme pour lequel /> — f=:A>
et « ( p - r ) — Â= A , ce ternie est

1 a ' 3" ; r ^ »

elle sera par conséquent représentée pat ia smte

T "i ■ 3"*"T^ ~*" î ■T'*3""F+78 +

ji:-t-4 k-r3 k-i-z 3 (»i>-« -*-■<) , /j-}-6 *_-,-£ '<-/-* 4 <'a/-«-t_6>

. a ■ 3 k + z^ "** r~' a "T" ■a".^!^

2p—2t -A 2»_ar — A— I ap_2r..jt_î p_r. *-f-I (m+it)

— _ . -?-^~^ — — ...... r. i- £ I Qtc

I s 4 f) _ r '

dont les premiers termes ont été formés du terme géitera!

zp—jr-t- z,f —ir — k — l tp — tr—k — 2 p—i-~lc^x f'»»+'*/'^

F~~* * z 3 ■ ' jz; B

en y faisant successivement r=p — k , r=^p-- k — i ^t=: p— k — z, ete

58 II est aise de voir qu'il y a dans tou? les term^-s de cette suite ,Jlffac»
teuTS qui 5e trouvent eu même temps au numérateur et a» denovnînateur , et

E

On] soiiT 3ai;s le ternie général

p-^r— k-i-i,p — r — h-^-i.p — r — k-^'3 / — ',

c'est" pourquoi elle se réduit à cette foTiae plus simple

Cif — a-k) 4 -f a „ci/-/.~A_î) 44-4 *-j.3 ';.»-«-*-4)

t 4- 6 «4-5 *-f-4 „<if--«-A — 6;

, ip — tr — i 2p~lr-~lt— t zp — zr — k—î ■ — r-f l («H-ir)

-r* : ' — — • z ■ ' 1 »» -r- ^^c.

' ï a. 6 p-^—k '

Cl l'équalion [19J devient

I ' I i I 2 j. '

4. t — arp-O «-âpy-O+i jl,-a(p--)-f 2 /t-jj + z- — I («-irJ -

— J ■ a ■ " 3 p^T ^ +

I l'a "^ r" " a * 3

^'P--r~k zp-ir-k^i ap-a/ -it-a /--r + t „{«4*'') _« ,,.,

r • ; ■ o ^ . . • - ^_- jtv -*- (,1t.

a p — 1 a r — /» — r 2/' — n — a p-n + i

I 3

_ ^a(p-f.-0--i aCp-n-î)-3 a(p-r.-0_3 p-n-/+i r"""^"^— etC [ 30 7

' â 3 p—n—s—i ' ^

OÙ i ai dë^gné par r la valeur de r plus petite que p — h , tandis que r

comjnue à représenter celle qui est plus grande que ^^ ~ ■ -

69 . Si l'on se rappelle maintenant que C , est le nombre des arrangemens
dont 3/> — ,T parties sont susceptibles, dans la supposition que la dernière achève
de ruiner le joueur C , sans que ni lui ni le joueur B ait été ruiné a aucune

j ••■> - ., (i/" — 1)

des parties précédentes ; on verra quon peut laire à l'égard de C ce

que nous avons fait ( 47 et suiv. ) à l'égard de B '' Fouî cela on

( 35 )

observera que les twTangemens dont le nombre est représenté par C ',

doivent éire Composés chacun de p — n parties gagnées par le joueur C ,
et de.p parties nerdues par le rnême joueur, puisque ce n'est que dans cette
hypothè-e qui! reste en perte . sur les 2p — n parties , des n parties qni
lui enlevant touH.- ja fortune. Mai- en sait que zp — n parties peuvent sa
partager Je

sp— 1 2 p — n — l 2 p — n — 2 p,»n •+ I *

12 3 ' p

manières différentes, e:i deux groupes, l'un de p , et l'autre âe p —' n
parties , il ne s'agit donc plus que de retrancher du nombre exprimé par
cette forniiile , i". le nombre de ceux de ces arrangemens qui supposeraient
le joueur C ruiné à l'une des parties précédentes, et qu'on trouve en repré-
sentant toujours l'indice de cette partie par n + 2 r , et en observant que le
iv^ueur C n'a pu y être ruiné que par des arrangemen de s parties gagnées ^

(n + 23'j

et de n 4- j parties perdues , dont le nombre est désigné par C . et

auxquels il faut joindre p — a — j parties gagnées , et autant de parties
perdues , ce qui peut s'exécuter de

z(p—n-.s) 2(p — n — s)—t afp— n — y) — a p — n—s-^ t

i T~ 3 ' ' * p— n— f '

OU ce qui revient au même de

i(p_n— s)— I a(p — ri_î)— 2 2(p_n — j) — 3 p _ jj _ î n- I

£ - . ~. .^ -

manières différentes : on aura ainsi la formule

a(p — a — s")— I z(^p~n—s) —2 2(p — n— î) — 3
2 __ . _ ^ . _

dans laquelle il faudra donner successivement à s toutes les valeurs possibles ,
en notnbres entiers , depuis s = o jusqu'à s =p — n — i. On a dans cette
dernière supposition «-f-2J = 2p — /i — z, et il est évident qu'on ne
pourrait assigner à s une valeur plus grande sans rendre négatif eu nul le
nombre p — n — s des parties gagnées et des parties perdues , entre la partie
dont le rang est n-i- 2 : , et celle dont le rang e^ 2 p — n.

6e Commençons par la dernière de ces substitutiorH , et réimissons t«v$
ie? résultats qu'elles donnent successivement , nous trouverons pour ia j'î^e-

* On pourrail prendre l'eipressioa cquiralente et plus simple
s p — n 3p — n — I ap — /»— i pH-i

I 2 3 p — n

mais elle conduirait moins directement au résultat que je me propose d'obtenir.

E z

P-

n —

s _

l

P

— n -

-f-lhl

c'

8 +

i»

)

p

— n-

-s~ l

( 36 )

a". !e nombre des arrangemens qui auraient amené la ruine du joueur B avant
la partie dont le rang est désigné par 2 p — n. Ceux-ci sont composes d'un
nombre m~\~r' de parties gagnées par le joueur C, et d'un nombre r de
parties perdues par le même joueur , qui ont ruiné son adversaire à ia partie
dent le rang est m + 2 r' , et auxquelles il faut joindre p — n — n: — r'
■z^p ~k — r' parties gagnées par le joueur C, et p — r' parties perdues par
le même joueur, pour avoir des arrangemens de ^ — n parties gagnées, er
de p perdues , on aura donc ia formule

1 • l • 3 ~ ••• p_,'_A o

et eu faisant successivement

T*=p — A, et m -f- 2 r'=m-f- 2j3 — 2 A = 3 p — n — h,

t' = p — \ — I , et m -4- 2 r" u=; 2 /> — 7; — k — z ,

r' = p — A — 2 , et m ~[- 2 r' =^ 2 p — n — A — 4 ^ etc.

on tfx)uvera que ia seconde série ?. retrancher est

li -f- - - B 4- -p- • -j- B -4..

k'-€ A-t-5 *-4-4 rip~a-k^r,i

if-ir k »p —xr' — k- r ap-tr' — Jt — â p_r'-f-i (m+ir')

-i ; ;: 3 ■ ' • • ^— TCl ^ • 4- etc.

donc

(2^-n; ap — n ap— n— I il^ — n — a /> — n-f-1

C

3 ;•

(»/«•« — !) 3^<*''— ""«> < /. r2>^— «— 6)

«J

-B —B ^ B .- — -^B

( 37 ;

an— 3' —A 3« — îr' — à— 1 ap— ar — A— a p_r'-f-i (m+ir')
— ; . 5 TTT^B — etc.Cai].

L'équation que nous venons de trouver se ch»nge par ia transposition en

5 -s J5 -f- D -4 ,___5 ,

' c I a ^ » I i 3

. ap — ar'— i 3p_ar' — i—i ip— sr' — i — a p— r'-+.» (m + ar' )

^^^ 1-^^-^ _ ;-r7rr^B +etc.-

2p — « ap — 71—1 a?? — .1 — s p — n -y- t

F

C — âC 2iC 2S.4.C

â(p — n— i";— I i(r— n— r> — 2 i, .■>-« — >'• — 3 p-n — s-+-l («t-i»)
, 2 -—^ • —~^ — — ^ • • * -^ r- etc.

dont tous les termes fort partie ds '.'équalion [ 20 ] ; il suffit donc pour ]a
retrancher de cette équation , d'y supprimer tous ces termes , ce qui donne

-r —■■ - ^ — i. — — ■■ — — •• — B -4- etc.

— ï 2 3 p-'-

= o [22].

61. On voit par le procédé qui nous a conduits à cette équation, qu'on ne
doit en prolonger le premier membre que jusqu'à ce qu'on parvienne à un
terme qui s'évanouisse de lui-même, ce qui arrive dès que r est plus petit que
?f "~* , ou qu'il lui est égal , d'où il suit que lorsque h. est pair , le dernier
terme est celui pour lequel '■==/> — - -+■ i , ce terme est

i C^ + î^ — *+*) (1^ — n + i)

» .3.1 . . , , ^_ JJ = * B

l'équation [aa] est composée , dans ce cas , de -termes , puisque r est
susceptible de * valeurs différentes depuis r=p — * + i , jusqu'à r =: p ,

mais si k était impair , là dernière vftleor de r serait p ~ , et le leirne

correspondant vaudrait

C 38 )
L.i.s . . . . ... ' ^ B = B

2

Amis ce cas 1 équation [ aa ] aurait -^ -4-1= —;;--• termes , car c est-là

Je nombre des valeurs qu'on peut donner à r depuis r^p—" — ^ jusqua

r ■=^ p , inclusivement.

62. Dans l'un et dans l'autre caj, le nombre des fermes de la série des B
qui entrent dans l'ëquatieii [23] , étant constant, chacun d'euï se forme des
précédens , en vertu d'une équation du premier degré d'un nombre déter-
mine de termes , et la série des probabilités à.\x joueur B

est du nombre de celles qu'on .appelle recunenteSf Toute série de cette
espice étant le développement d'une fraction rationnelle, il suffit Ac. df;-
termincr la valeur de la tracrion qui répond à la série que nous venons à^
trouver , pour avoir la limite des probabilités que le joueur B finira par Se
ruiner s'il continae indéfinimeut à jouer

63. La série éiant mise sous la forme
— TB -f-B — ^T-hB — - — -4-B ~i -^ +

. « -^ B ,— — ^ -^ *'^^' )

elle se trouvera ordonnée suivant les puissances stKsessives de la quantité
..-..t. — , et d après, la théorie connue des séries recurrenl^js, ! équation

B — -3 4— -—B — r'"T-xB > H-

-J- I a 3 ' p „ r •

dont le second membre peut être regardé comme ayant été rédiiil à z^ro
parla transposition, aura pour premier membre le dénomiaafeur de la
fraction génératrice de la série

c 39 )

-^ . . . . 4- 5^"+*'' —^- 1- etc.

Jans lequel on aurait siibstiiué les termes

3 ,B ,B ,B , B ,etc.

à la place des puissances successives

ce la quant it'^ — ^' — ; . On obtiendra donc U dénominateur de cette frac-
tion en subsiLcuan: au contraire

2 la place de

B :B ,B ,B ,...B , etc.

dans le premier înembre de l'équation [22] , ce qui donnera
^_^izl ? ..<'-'»/- 3 9^ kj-6 *-J. fe — 4 y^

— I a ; p~" (r-t-5/'-^'-+^'^

pour trouver le numérateur de la même fraction ^ on considérera ia série
comme le quotient de ce numérateur divisé par le dénommateur que nous
venons de déterminer , d'où l'on conclura qu'il àu&t pour avoir le numé-
rateur de multiplier la série par ce dénomuiitceur, On exécutera ^ovlq la
multiplication ainsi qu'il suit :

r

+

03

«1 (

<^ <fe

'11

o,|r

w l

t>

i 1

•«=~

ic^

W_

t3,^

3

3

+

+

$*

M

•^

1

&

>w

^^

/-^

V-v

».i

tH

+

M»

'^.

1

4

( 4' )

64- La dtrnior^ des coU>nnes que nous avons écrites dans le produit les
représeme toutes , ccsï pourquoi nous aurions pu nous dispetiier fi écrire
fnènie îej premie'-is cjlonues de ce produit qu'elle nous aurait données ^
i-irsque nous en aurions eu besoin, en faisant successiveineut p=o ^ p-~- i ,

p = a , u = 3 , etc. Or , is coefficient de — — ~r^ dans cette cobnn;» est

précisément !a mefn» chose que la partie du premier membre de IVquaiion
[^o] qyi précède la lacune, en transposant le reste ds ce membre, un
trouve que ce coefficient est égal à

2 p ,1 ^ p /7— 1 *o— -n— â p — ft-f-I

~"T~ * " z """1 ""7

aÇp— n-i)-i a(p-'î — 5)-a ^{p — n•~s') — '^ ^ f.~«---.4-£ Cn + i/)

I * a 3 p — a—s—x ' ^''"

('i'-'»-'^) _ /^-+-3^<»/-''--*^"î) k+Jt kj^ (.rp-n-k-^) k-^-à kA-h i-t-4 r!p.,.^_t_j-

2;;_a r' - i . zp--îr' — t- 1 xp—Zr'~k~2 p ~r'+X {/»^^-Sr')

veleur qui se réduit ^ rere , d'aprèi ce qu'on a vxi (6o)> en vertu de le«^ua»ion
[iil- dès c\\j-i cette dernière commence à avoir lieu . ce5t-*-dire, dès au?

C , et les autres fermes de même nature ne sont pas nuls : toutes

les colonnes du produit précèdent s évanouissent donc deiles-mémes , aussi-

(, ip — n) J'^P- » •- e-

tôt qu'on est parvenu a des termes pour lesquels C , C ,

L , etc. , £1 B , B , B , etc.

cessent de se réduire à zéro.

6S- C est la première de ces quantités qui îaiîsfait à cette tondiiion,

cela arrive quand jjzrrn . puisqu'on a alors C = C = ( , ii ne

faut donc tenir compie que des cclonnij; pour lesquelles p est plus petit que

f
n , effaçant dans (a valeur çénérale du coefficient de — 2 les tern-.^îs

que cette stippoiitieu fait ev-inouir, elle >e réduit à

— _ . — — — — % — :-— - .... . -—^ — - — B -^ etc.

C ^3 )
I 1 3 — ■ t 2J .

66. Cette nouvelle valeur devierd encore nulle , par It/anau.sî^m.nt
de 508 f^cteiuô. aepuis^^. ^-i. jusqu'à p = :, o. jusoo'a ^ =. "-±i' ,
mc,us)ve.nent., suivant que n est p.ir ou impair;* d ne T.stp.a d»oc dans
le produu que nous venons .ie trouver que le's cclonn.s roJ/l.s'Xs;
une valeur plus petue que ^^ . e. ces colonnes .e réduiront chacun; à >■« Ll

B^""^'^—!^'. '"^-^

et on «t^nera

/■" + V k 2.

-!•"

b"""^

- 3 '•*■ fZT'^ ^ etc.:--

4: "-.; "^ . iLiiJir.^ . •:'"^>-'-^:^ . , _ ^r-p- 1

le n„„,erateur de la /raction génératrice! ta sér.e '

^•"^ ( ;;. -j- j\

est doncega) k v;4-:?;

(^ f ?r ' l a '"- — ^T. • • - . . î.

0+5)*

et comme le dénommateHr tîon, U-^î;' "^

«eHr,com«ou.avons déjà trouvé la raieur, peut,

C 4» )

cause que /> , r , et par conséquent p - r , y sont absolument indéterminés ,
être écrit ainsi

X — *-' 1 . 7'-4.*-3 f_ k-6 k^ *-4 ^^

P (I Hh î)

on aura

+

pour la somme des probabilités que le joueur B se ruinera — ^ — - v

.etc.

67. Ek raisonnant comme nous venons de h faire pour le jousur B , à
l'égrud du joueur C ', on trouvera que la somme dés probabilités que ce
derni.?r ie ruinera, représentée jusqu'à présent par

'''" ' ■ ^ ' ' .1 u c. " il.

est égale à — ~ v

m -z

I . — i ^"Ui ."Izl . _^ ^_»»-2p m-ap-f I m-ap-4-t w-p-j ,/f „ ^

Zl . _i__ I ^ — ■♦ , ^ "^ __£__— , ^_— J»? ^-ap + t ^-ap4-a k- p - x <jP

68. Multiplions maintenant en baut et en bas par ( i -{- ^ } ""' rr=
( I -h j ) * , les deux valeurs que nous venons de trouver pour ces deux

'* Oa s'assurera facilement qje celte triulHpIicjtion suâlf pour faire dirparairre io^
factions conletiucs dans les numérat^urb et dans le dénoniinaîeur contmun de ces
deux quantités, si Ion feit aUeclion que a p qui représeute l'exposan* d« X +ç , dani

B z

( 44 )

sommes .3c probabilités , la preniière devieiulra

f,4,) - . — î(i-t9) -t- — ^ ?(!-+-?; r- ^ ^ ~{ i-_5(H-ç;

I 13 — 1 i 6 p

1 — îe-î

±'?tC.

(i-Vj; 'i^'+îJ -i a(i+?) -^ ■- ^••- -^--9 (î+î. ^e^C

e\ h seconde

g- y 1^ î f ■: 1 1_ — ,

^-t k- 2 , ^A-3 k~4 A— 3 V *-^ , /' ir .(f — 2P-+-I A— 21H-S /.— u~i p^ ^■^-V-'_

(î-^-!/) ~— -3(1+?) -^-pî.---5'(i-<-t) ±-^ ^3 ■••—3 •— 5('-f-9) -f-etc.

Les numévatcurs et le denominaïf ur coav.riun de ces nouvelles valeurs, eun:
des cas pariiculiers de la fj-rrr.'jle

, , *-» ■•■—2 . , *-î , Af— 4 » 3 1, , ^"-y x~6 y — 6 .»— 4 ?, .»-•;

— q (j-i-'ii -|- e'c.

voyons d'abord si cette dernière ne pourrait pas se réduire à une formri
plus simple.

6g JBn renversanf l'ordre des facfeurs dort sont composés ff-s numéra-
teurs dts cccrtSciens de se- dittereiis Jr-nnts, et en dév?-lor>p,jnt les. puissances
de ï —h Ç , «n jnettia d'abord cette quantité sous la forme suivante ;

leurs rennes généraux

n - 2 p n— 3 p-f- I n — a p-f- a «■ — p- — i ç*"

V„ > et

' - 3 P i^-^qf^

m—zp tfi — a p»4- 1 m^ X, p -fr-a ei~p~~.i q'

ï a 3 "•»..- - ^— - -~-~^^^

ft — a p fr — 2 p -4- I k— i p -h i jj_p_i çP

doir t-fre né"cessa?remcnt plus petit qne « dans le. premier , riiio m dans ,'e second , et
quft il dans le troisième , pous que le* coèâlcieas àxi ces termes ne s'évanouisseûi pas.

C 44 )

*-a *-.* X-? ^ *-a x-3 *-4 j *j2f *-^.^ - ^- ^- *"^ . . .^g=!.f etc.

x_3 ;r_4 , *~3 *-_4 x__5 , x -3_ r-4 x - 1. x^ »;p-^3 ^

.etc.

i

"7 l T~^ "" i i ' 3 * i"" p_3

y-p-i . ••^-F--,». . >^-P-3 , _ ''- V .p + etc.
I ' i 3 * p ^ —

■t-

etc.

on observera ensuite que ati t représentant deux nombres quelconques, on a

— /— î

« » f f— X , t t~\ t — S. , . ,t t~J (—2 ' — F"*"^-'

.— I

ces deux équations multipliées 1 tine par l'aulTt donnent ( i «~ <t ) ou --^ =s

t+i t-ht «4-1 *Jl»+3 !-+-» '•+•''_. _. '-^P ^+p-t r-4-p-a /+p — 3 /-n ,. ^
'+-7^"^^ ja ia3 'iâ? 4 p ■

t /-f-t f i r-4-» f-4-i j^ î f4-p«-i f+p — a /+|;— 3 r^- 1 r p

j* r~' T T" ai I a 3 ' p-i I

"T^j'â"! "l'a""'"'"^ I ' 2 'p — a 1 a"~'~ ^'^'

t f— I ) — a 5 r+p — 3 /-Ht ' »~i /—a r

7 "7 3" * * i *'p — 3"i' a * 3 ° ^^*^'

/ r — I t — a f— p4-i r 1

■4- - . ' -r- • a '^-r- eiC

— : a v^ y —

+ etc.
mais on sait que

— ^^=1-4- a-t- a*-i-û'-i- : : -f- a' -4- etc.

( 4<î )

ec% deux développemeiw d'une même quantité devant être ideniiaues quelqu?
soit !a valeur de « , on en peut déduite cette suite d'équations

/-fa t -h i f-4- 1 . J^ î_ _|_ *— «

» a I I "" I * ~~r~ — * >

M-3 r-f-a r-t- 1 t-t-s r-+-i / r-f- 1 » r-i / r — i #-a

'"*'." • ->.^— i r f-p - i r -r- p - ? t-(- ; ;-i-p-s r-t-p-a .--f-p - 3 f -f- 1 r _i

1*3 3 ;i 7" ; i 3 p-i ' 1 "^

I * p — 3i'a I 'p-i'T' ""s * 3" *"

_, r r— I f _- s f — p-si

""■ I A > p

et ainsi da suite.

7c. Ce» équations ayant lieu indépendamment les unes des autres , et pour
toute valeur de / , on peut supposer

dans h première t =zj= x — 3 ,

dans la seconde t = x — - 3 ,

dans la troisième t = .v — 4 ,
et en général dans ia dernière î = x — p — i , ce qui donne en substituant

* — I X — 2.

»— I JT — 2 x — 3 X — 3^^*— 3 * — 4

I ' 2 i i "^ I ~â *

X — 1 «—a «—3 jr—a * — 3 y— 4 . »— 3 »— 4 x — !> «• — 4 * — i x— 6

x-i *— a *— 3 jr — 4 ^ t — p y — s <— 3 » - 4 » —& y — p- i

""j a '3 4 p 1 » a 3' F — ï "^

*— 3 X — 4 jf— 6 »— 6 « — p — a *-4 *-6 x — 6 * — 7 v-p-3 ,
__ — . __ ^

2 i a p — * ' * 3'-i p -~ 3

*- c a 3 _ .. p

( 47 )

71. En comparant les premiers membres de ces équations avec les diffé-
reotes colonnes de la valeur que nous avons trouvée tout-à'l'hi^ure pour

12 3 p '

I + 9 + 9+5-+- •••+« »

en faisant successivement x = n , x = m , et x- =: A , on lëduira à une fonoe
très-simple les numérateurs et le dénominateur commun dés probabilités trou-
vées ci-devant (68) , en sorte que ia limite des probabilités contrants au
joueur B , sera exprimée par

l-^q-hq-hq4- -^ q

3-3 i — t •^

I+Ç + Î+5 + +5

et celle des probabilités contraiies au joueur C , par
^, ^i-t-g + g +^^-f ■■■^q g 4-^ +^ -H? H h?

ï+q + d -i-q -\ i-q i^q^q ^.q _^ ^.^

parce que m -h n = /^.

72. La somme des deux probabilités que nous venons de calculer, est évi
demmcnt égale ï l'unité , c'est-à-dire à la certitude , en sorte qu'on ne

feut douter que l'un des joueurs ne finisse par se ruiner. A l'e-^ard de
avantage que dorme au plus riche l'inégalité de leurs fortunes , il faut oour
le déterminer supposer tout le reste égal entre les deux joueurs , et pa/'con-
séquent g= i. Le numérateur de la première fraction se réduit alurs à n
unités, parce qu'd confient n termes; le numérateur de la secondé et le-
iénoniinateur commun se réduisent respectivement 3 n et à Â unités, et eh
se rappelant que A = m -J- n , on voit que les deux fractions deviennent

et

or /n r n ert le rapport de la fortune du joueur B à celle du joueur C , la

( 4^ ;

probab'ilitë que cViaque joueur > à jeu énal , ruinera son adversaire, ej» donc
en raison dirf;cfe de m fortune.

78. liOrsquô q n'est pas t^ga! à uu , eu peul réduire 3 deux terme? le mimé-
rateui et le dénominateur de chaque fraction en i« multipriaut par q — l •,

on a aijisi ^i " •■ pour U probabilité que C ruinera B , et ~ — ?- pour

q —i q — 1

celle que B ruinera C.

74 Si l'on voulait savoir le rapport qui doit exister, ï chique partie,
entre les chances favorables à chaque joueur, pour qu'i! en vésuliât en favpur
du moins riche, un avantage qui tendît constamment à compenser l'inégaiite
que met entre eux la différence de leurs fortune*;, sans /ui donner jamats
plus d'ejpérarce qu'il 4i'en festeraa s son adversaire , il faudrait déterminer
q de manière qu'il y eût égalité entre les deux fractions

î î , n—i

I -4- q -h') -4- ; -(-..••■■ ^

1 -l-q-^q^-i-a^ -i- ' ' • ■ • -i-q '

et

" , «Vl , (1+1 , n+t , , i — i

i + î + a-l î' H- ■ +<}'""

ce qui se f-erail *^n resoWan? It^qusliun dtt de.^re A — - 1

S -f- 9 -f-9 -+-• 4-^ —q — q — q -— > = 0.

En oomparant Ids deiu fi«ichouJ

l".-,.^ et ?~X"
on aurait trouvé

i/". — 2 f/ " -f. I rr= O ,

ëquaiion dune forme plus simple j niais d'un degré p'.ijs é'evé que là prérr-
dente , et qui contient le facteur g-~ i , étranger à la question.

^5. Dans le cas oh l'on supposerait infinie la fortune de ) un de» deux
joueurs , celle par exemple du joueur C , on aurait n — ~. Alors le nombre
?» restant fini , la fraction ~-^ , qui exprime la probabilité que ce joueur
se ruinera , s'évanouirait , et la frachoii "- qt,i exprime la pro-
bnbtlite qinl rutnera son adversaire d«viendr;»ii eogle k 1 . en sorte que cette

joueurs avec lesquels H j*. trouvait dans le cas de se mesurer. Il est evideni,

en

en euef , comme nous l'avons déjà dii ( 6 ) , que ces jouturs peuvent alors
êtrf:- considérés tomme un seul adversaire dont la fortune seraic infinie , et
voila pourquoi le joueur de ce premier problème devait nettssdirenienl se
rumer. Les calculs preccdens s'accordent parfaitement avec ces )*;sijltats- car
nou; avons vu que les h premiers termes de la série des B , sont les mêmes
que ctjux de la série dus A , d'où il suit que ces deux séries sont identiques
quand t c= i

* o •

■;6. En supposant toujours le jeu égal , et par conséquent y = i , et fai-
sant m = n , comme cela a lieu dans le cas où les deux joueurs sont éga-
lement riches , les dèuît fractions -^^^— et — ^ deviennent égales et se ré-
duisent toutes deux à L. La probabilité de se ruiner est donc la même pour
les deux joueurs ; et comme rien ne 'diminue la totalité de leurs fortunes ,
le danger auquel ils s'exposent , doit être regardé comme compensé par
l'espérance qu'a chacun d'eux de doubler sa fortune. C'est dans ce sens
que j'ai dit (6) que le jeu ne présentait dans ce cas aucun désavantage
absolu , quoiqu'il soit toujours imprudent de risquer ainsi tout ce qu'on pos-
sède dans la vue de s'enrichir. La mênae compensation aurait lieu , lorsque
les deux joueurs sont inégalement riches , si l'on pouvait regarder la perte
de sa fortime comme un malheur proportionnel à la valeur absolue ds cette
fortune ; car en multipliant la fortune du joueur B par la probabilité de sa
ruine , telle qu'elle a été déterminée (72) , et en faisant la même opéra-
tion à l'égard du joueur G , on trouve deux produits exprimés par la même
fraction ^^ , et par conséquent égaux entr'enx. Mais si le malheur de
perdre sa fortune est en général plu» sensible , quand cette fortune est plus
considérable , ce n'est point dans le rapport de sa vaietir absolue , c'est seu-
lement à cause des nouveaux besoins que se font les hommes à mesure qu ils
acquièrent des richesses , du rang qu'ils s'accoutument à occuper dans la
société , etc. : considérations dont i) est impossible de faire aucune évaluaJion
numérique , et qui me semblent devoir être absolument rejetées de la
théorie purement mathématique du jeu , ainsi que je l'di déjà observé ( 3 ).
Le malheur qui menace les joueurs , étant le même pour tous les deux ,
rien ne peut compenser l'avantage de la probabilité qui existe en faveur du
plus riche , d'après les calculs précédens et l'expérience constante des ré-
sultats ordinaires du jeu *.

APPENDICE.

77- •£ m'étais proposé de joindre au Mémoire précédent quelques- appli-
cations des formules qui y sont démontrées à diverses questions étrangères
a ia théorie des proba'oilités , afin Je ne laisser aucun douto sur Tutilité
qu'on peut retirer de ces formules, dans des recherches ires-différentes'^
celles qui my ont conduit ; mais cette utilité ne devant qu'être indiquée

* Tout k monde cannai» In provwbe trivial, 3Ufi[uet r^tie expérience a dftimo lien

G

( 5û )
dans un outrage tel que cclui'ci , j'ai pense qu il suffisait d'en <ionr«r un
•eul exciripli;. Vne formule connue depuis bng-temps , mais dont je n'ai
trouvé ntllo part de démocstiation complette * , m'en a pKscnic un que
j'ai préfcré 3 tout autre , parce qu'il m'a iouïui l'ocrasiun d'insister sur ks
svatitagts (]u'on icttrereit de celte formule, si l'on y ramexait , de la manière
que je i esptiquetai bietitût , plutieurs (luéeciec jusqu à présent eparses et
indép«fMJante( le» tines des autres , dao» <ous les oQvra^es qui eu traitcrit.

y%. Oa sait que dans le cas dç lenfiàsant emi<;r. et positif, la formule
du binoraé de Newton peut être «iise «ou« c€«e fon.je

-f 7 • -^ — r* — p ' * ^^ -♦-* ^ "^ *'*'• ^^^'^ '

fcUe donne a'ors îa valeur d'une puiss^rce quelconque Je la somme a~l-f>
en îoiîciion du produit « p et de» sommes de puissances

(1 n M — « «*-i «-•4 «•-4 /1-.6 n — ^

«-+-*»« -4-* .« •<-* ,« •4-*' ,•

a 4- » , •'te.

I3 fv^rmul»» que je me propose de dcfl^oiiTrer , donne au cootraift: la valt»?
de a^ -+- à" , ea fonction du pic>duil * i tt des quarititvj-

(4+*)" (j + i)'"* (a-f.^)"*""* (c + l)"~* . . . .

" ' * ■ ' • • (a+*) etc.

sous oe pojfit de vue elle est pour ar.si dire VicvcTte tie k formule 4»
biu«me. On trouve aisément par induction que

e*4-*" = (a-f.*)'-_i«i^<:+>)''"''-j--'' . 1~J ^T' {.,-^f n '~*

— — . — w a à cA-i»}

H; ^ , .— _ _, J_ . i, <a 4^) -- etc. [i5j , .

pour le dcmonurer dune naBlère dompîeiie etfeirttale nous cojuidtftétVBTts
i>r second membre de cette équation comme wne lot>c*»«ii de- a a ut: 6 Ou 'il
!■ agit de ramfcner à «ne forme p'us simpb , e« Ut iiil que nou* pioposcù
sera rempli «î nous trourcns qtr'elle $0 réduit en cfîct k ■i'' i- b\

* Cajtilhon, dans les Mémoiref de B/^Un , »'«tt accupé lie cvile fvriniilu . niait h
oéiftonstration qu'il en donne , qnoitjoe Lien .~uf.«iinite à «e i^u'on troi;ve su- kinéme
•u^Qt daus quelques livres cl^irentaifcs , r^-jjose «r^T♦^rtn»^en^ su» un calcul d'iiiHaciior. ,
dont il est impossible de suivre la ourche , «t eit 4'«b renconito à cfaaqwe fas dca
xédttctiotis pt des tnu»rottnalioai dont on na vmY poim ia toute.

i

eu

è T

+ ! -f

jP P jP

-f- -f +

f 71 «

+! i+

-f-

ci

V

ru

i

+

T

î

f i +

I

i

B fc f

1

«1-

+

i +

5! I

1 2

.+

1
«

-f

1,

^— '

Nw-

B"'

•a

•a

^ 2

«»

c

«> 3

*» o

«f-

= 1-

— fc

+

1

( 'i* )

Sc- Si nous îv^prcuons maiiitenont 1 eqiiauoa [5j, que nous en calculions
itj H?rni«i« lerme-j , en iaisant sutcessiverneul /■ = o , / -= i , r =^i^ r = 5,
fcic jusij[ua 7 --■ p , dons le terme gexiéval

il -j- ip — ar '; + 2p — 2 r — i u-l- zp-ir — 2 u-4-p — r-f- 1 m m-|-2r— i ni-|-2:r — a m-jh'*+-i
1 a . 3 p— ' 13 3 r

et que nous écrivions les termes arnsi trouvés dans un ordre inverse de celui
qui a crç suivi dans l'équation [5^ , nous aurons

« + ap !(-4-3^— I u-4-ap — a u+p-^i «-J-aj» — a u-j-ap — 3
J - • 3 • - I \ " j

u-1r^73—l^ u4-!> "• 1^ <<-4-ap — 4 u + ip- 6 u-4-4p — 6 _ _ ^ u 4-p — t "» [^3_ .X„

3 ^ * " ' * p—i I "• 1 * a ' 3 p — a i a

m m-+-3p — I m-(-ïp— a ni-t-p-+-(

^ _ . _^ , _ ,, . . . ^

«-f-»i-+-ap w-t-m-Hap— I a-4-ui4-ap— a u -4- m -+- p 4- I

i ' a 3 p

Supposons /-/? =r — n et écrivons les premier! les facteurs où eiUr3 cî-tr^
lettle , il viendra

u-hap u - a p — t u + 2p — 2 u +-p-( i n u-f-ap—i (i-fap— 3

1 a 3 p ï ° 1 s "

art-* f— A «-t-p , j^ 1 — 3 u -t- 2 p — /j^ B-t-2p — 5 uW-ip-6 (/ •(- p - t

5 ' p- I ' r ' a ' X â ■ 3 "" ' ' ' p.^2

, I , n ft — a p •+- 1 ^— „ip.^i
■"" i a :^

B+ ap — -n u-hap~-n— I u -4c i p — n - x
l'a 3

La valeur de o étant arbitraire , on peut prendre u~n — 2p , ou i/-J-2p=ra ,
le second membre disparaît dans cette iuppo<jiii«n par l'evanouissemèiit d«
JOD premier lacteur^ et Ton a

_n ^ "JZ-L f ~'^ , n — pH- 1 "il — 2n-3'?-- 4 n— p

ï « 3 p ' j 1~ ■ "T~ * ' p- I ~^

1 •

-p-

- f

p

l

p

/» + >

• (I— .3 /t — 4 n — S n — 5 n ,~ p • — j

t "X" ' ~r' "a 3~ * ' p-'sT

P

C 53 )
le premier membre de cette équation étant précisément fa môme chose que
la somnie des coëfEciens de a' i' ( a""'^ — >- ^''~^'') , dans la valeur que nous
venons de trouver (79) pour X, il est évident que la dernière des colonnes
que nous avoiK^ écrites dans cette valeur est égale à zéro, et comme cette
colonne représente toutes les autres, qu'elle donne imiiiédiaiemcnt en y sup-
posant successivement p = i., p = 3 , p .-— 3 , etc. , jusqu'à p =- '- eu

■' sui\'ant que n est pair ou impair , il s'ensuit que la valeur de X se

réduit*, ainsi que nous nous étions proposé de le démontrer, à a -{-b".

8i. La dcmonçiration précédenic noffrirair que peu d'intétêt , si tout
n'annonçait pas que les diverses applications que préserte la formule qui en
est l'objet, peuvent seules donnor à l'algèbre, et particulièrement à la réso-
lution algébrique, des équations , toute la perfection dont cette panie des
mathéifianques est susceptible. On trouve dans tous les ouvrages ou elle est
traitée avec quelque étendue , la solution des vquations réciproques ; des
méthodes pour résoudre les équation, du iroisième d>:^gié, et celles des degjés
plus f'ievés dont les racines peuveni être déterminées par les mêmes procédés;
l'examen des cas où cç^s méthodes deviennent inutiles; des formules pour l'ijx-
traction d':s raciîies des quantités en partie rationnelles et en partie ination-
nelles ou imaginaires, etc.; Mais on ne met avic'.'ne liaimn en're ces difterens
objets, on ne les présente point comme de simples applications d'une niwme
formule, ce qui contribuerait à la fois à en simplifier l ttude , et à les graver
plus faC'Ifinent ilans le memoiie. Rien ne serait cependant plus aise si l'on
s'attacliair à les déduire de l'équalion [26] , dont ils sont autant de corol-
laires immédiat^. Ceiie manière de les considérer m'a paru présenter des
résultats trop avantageux pour ne pas entrer ici dans quelques détails qui
pourront en donner une idée jurte ; mais je doi5 auparavant dire tin mot de
rapplication dç la inéme formule a la détermiiiatio.! des fonctions syni-
métriques des deux racines d'une équation quelconque du second de_iré,
X* — ^ X -|- A rrr o. En nommant a et ô ces deux racmes , on aura ^ -f- ^
— - î; , <j À =i A , et toute fonction symmétrique de-(f et de h pourra ctre
représentée par 0' F -^ a i' , pour en trouver la valeur il faudra dabo^d
Supposer dans l'ecjuation [26], n=f — r, ce qui donnera

j — r , , j — r

5 — r — p — I -i— 1» ,P

g '' qreic.

on multipliera ensuite cette équation par / b"^ = h' , et l'on aura

ê A

_ -^ .^^ , ^ ..... ^ ^ ^ 4. etc.

Le dernier terme- de ceifî iormule se trouve, quand s — r est pair, en &i-
sânt i p-=:zt — r , o\x p j=z. LZJ. . ce dernier terme t'.it

j — f > — t , 4, ,

- a ^ * i-y

i
Lorsque i —*■ es) jmpriir il faut pour avoir le Jernier terme supposer j5=;
izJlJ-l, ce qui donne pour la valeur Je ce terna

4- •-" i 3 4

Dai\» l'un cA l'autre cas le siju? supérieur corrcipond aux valeurs paires <5a
n, c'eiî-à-dire a ; - /•-"^ i» , et 3 j— r = ^n 4- , ^ unà'\f pus ) m'iiMur â
lieu <|U»n<l p evl impair, c'êSt-à-dire qa«nJ x — r = 4 n ^ j, ou o"»^

^ 8; Le% équetions réciproques , coasidér»«« sous le poin de vue U plus
jçéoetal , sonl celles dont k î>rex:iier membre est troe fonction iyromeîrique ef
houioçciie , de ! inconnu-; et (iuae quantité qu'on suppose OJdinairt-meat éeéle
a t'anite, miis que n«»3 rtiirésenteron» parc, peur donner plus -Je reeularité
c( d* géntralit'j âU c«!cul , teute équation rédptoque w trou eca ainsi com-
prise (fins la formule

OU ce qui levient au n\«tre

". "1 f '^'~ ' \ >r-»ï\, ''/ "«—.à. >..,<\

K -hf 4-pc» (,jf fr ; H-î« « C* +'- O-f-'-fe. =-0.

La forniti de cette equaUoa fait voir qu'elle est divisible par k -\. e toutes le»
fois cpe m vst unpair , et comme ie quoriont «t une équation Treiprnque
dont )e degré esr pair. .! s en sui' que U sclurion général*, des e.m.-ii.ons de
Ci genre . ^st ramenée à Celle r» s ëqtiations réciproques d? def .- p.-.ir qui
jont toutes représenieef par la ."orinule !■•> i > H

en réduit U solution de celle - ci ï celle des équations do de^re r , en l>
d«»i3ant par ûf jf', ce qui donne "

( i-5 )
et en y substituant à la place tles gtiflWttés

r r r— 1 f— I »— t r— a

les valeurs qu'on trouve en supposant successiveinen: n = r , n .=:= r -^ \ ,
rt= r — a , etc. dans i'équation

n . 1—î

«jui n'esi autre chose que réqualion C ?S 1 , dans laquelle on a fait
o ^=^ f , * = ^ et par conséquent a è= i , et « -+- è ■= ^ "*~i^ ' l''**"
tiié qt»e nous avons représentée pour abréger par ^. L'equiition ea ^ qui
résxi'iiera de ces substitution:; ne sera que du degré r , moindre de moitié
que ie tlegré de l'equatron en x; c'est ainsi qne la résolution des équation*
reciproquei «Icw degré quelconque m , sa réduit à celle des équations du
degré — eu 5-^' suivant que m est pair ou impair , car dès qu on a lei r valtur'
«Je :j , oa ircuve a -^ valeurs de x eu vertu de l'équation

— -f- — =: ;^ , ou ^* — - ^ c < -|- .;* =; o ,

et on t «n outre i.- =^ — c dans le cas où m est impair.

83. En faisant dans ! équation [â5] a -f-à" =A , a^rcA . çt 4-f»^=rj,
elle deviendra

J-. I a 3 f ^ --f- ^ '•"

équation entre ^ , .^ et « , où l'on peut rçgar<îer f comme l'inconnue. La
solution de cette équation est liée avec cell« de l'équation dc« a ou 5
repa^sente toutes les racmes , et qu'on trouve immédiatement eu considérant
c" et b" comme les deux racine» d'une mêras équation du s€CvIHÎ degré ,
et en combinant les deux équations

ce qui donnfe

C àS )

a*"^ k a" -^ A- --: o , ou b'" ■— k r ^ h" ^0 , [ ^8 ] ;
on voit en f.fier que chaque valeur de a ou de ^ en donne une do *, en voriu
de l'équation j = a -4- b :=: a-\ — , et que réciproquement si ion avait toutes
les valeurs de j , on trouverait celles de a ou de ^ en tirant deux de cfs der-
nières de chaque valeur de ^, par la résolution de l'équation du second degré

a' — ^ a + /^ = o , ou ^^ — 1 b -\- h =. o , [ ^9 ]•

On ramène ordinairement la solution de l'équation [27] à celfe de 1 équation
[28], parce que cette deinière se réduit à de simples extractions , après
qu'on a completté le quarré dont les deux premiers termes sont a" — ha" ,
c'eit pourquoi l'on regarde comme entièrement résolues les équations de ces
deux iormes

a" — • Aa''+ A»= o,

et l— !L h {-^ ^ 1 ."Lz! fi" {-'^l.'LzLÏ.'LLLh^ î'" ' -+-

I ' I s 12 3

+ n n — s.p^i n_3B-f-2 n— p_i ip n — rp
•- • ■ • - — ! — C — — n 7 1 etc. = k t

— la 3 P +

dont la seconde est sur-tout remafquable en ce qu'elle devient quand n = 3 ,

^ 3 A l k = 0 y

équation qui renferme toutes celles du troisième degré , après qu'on en a
fait évanouir le second terme.

84. C'est ainsi que les formules précédentes conduisent i la solution géné-
rale des équations de ce degré , elles donnent également l'expression des
racines des équations de degrés impairs dont on peut faire évanouir tous les
termes pairs * , et que cette opération ramène aux équations qu'où trouve
en supposant successivement /z = 5 , 1 = 7, etc. , savoir :

ç' — 5//^'Hh S h^ i — h =0,

c' — 7 ^ -: ' 4- 1 4 /' ' c' — 7 ^' î: — ^= o ,

etc. etc.

tout cela est bien connu, ainsi que 1 inutilité de ce procédé dans le cas auquel
on a donné le nom de cas irréductible; les extractions auxquelles on est con-
duit devenant alars inexécutables , on doit regarder comme absolument illu-

* La nt«thode de Ttchirnaûs fournit un moyen bien simple d'y parvenir dans l«s 0^113-
tioiH (lu cinq-.iième degré, l'é^jijatiBn qu'on a â résoudre pour on faire évanouir le second
et U quatiiéme taims ne moute qu'au troisième degré.

soixe ,

C h X

joirs , non-ssuletnent la solution de i équation f 27 ] , mais aussi celle dft
l'équation [ ^SJ. En eûet , le but qu'on, doit se proposer dans la solutirn
aigeôrique des équation?, e^r de trouver une Tcirmole qui piV5^nt« le tabi^^au
duna suite d'operafionà à l'aide desquelles on piih->e en calculer toutes les
rscines , chacune sous la forme qui lui est propre ; c'est-à-d>î? . Us valeurs exac-
tes des racines rationnelles, €<: des racmes inistçinair-s à partie réelle rationnelle,
et les valeur-, approchées de celles qui sont réelles irrationnelles , ou imagi-
naires à pa. lie leeiie unuionneile. Toute expression Û05 racines d'une équation
qui ne remplit pas ce bui ne peut être d raicuA usage dans la piatique , el
doit être rejeté** comme n iadiqnanl que des opérations laesecutables. C'est
ce qui arrivrt a I "g^rd les é-:|U3noi:s rnîs nuiis eï-ammons , lorsqu'on est c-j'n
duit à extraiifc d-js racines inipaires du quantités en partie réelles et en partie
imaRiîiaire? ; 1 algèbre qui donne 1»; moyen d'ejttraire par spproximaîion toutes
sortes de racnes d'une quartvité véelle , et senloment la racine quarrée çt'ui^e
quantité ima-iinaire , a liide de^ deux formules

v.**»/:-T = x(i/î:5Zï-ti-a. j/1

ï/TTTT^ = :p (y IGlIii^ - ]/

■vi

' -.- 1,

^y".

r^)po■\ e

y , —

V '<

■ -f- h-

2

Zi V-

-)r3>] 1

Tien présenté aucun pour déterminer IftS autre? racines de ces quantités,
indOpend.ifnm'?nt ifes équations mpmvs dont elles devraient donner la solution;
ensorle qu'après avoir trouvi? les expressions a/gébriques des racines dcman-
d«eSj on ne peut essayer de les calculer sans erre ramené par un cercla
Vicieux aux «quanons méme.'i qu'on s'était d'abord propo?s de résoudre "*.
/.ptè-~ avoir épul.^e toutes les combinaisons que ce sujet pouvait présenter ,
les n)alhérnaficMeiis se sont accordés à reconnaître que ion ne devait avoir
dan^ le cas irréductible, aucun égard aux iormules qui expriment 'es ra.iues
<îe 'équation f^" J > et résoudre directement cette équation par la méibode
des divise? rs conuriensuràbies ou rat les méthodes d'anroximation ; il n;o
Sétnb'e qv. ils suivaient dû rejc-ier égalenie- les expressions algébriques des
racines des équations d.i Is forme de l'équation C *^ J • puisque ces
expressions contiennent lindiralion d'une opération 'aiexécutable , et que si
«lie- n'ont pas l'inconvénient de dcnnt-r une quantité réelle sous une terme
f maemaîr*» . elle ont celui de donner une quai.t, '• imaginaire qu'on sait éire
•iusc»:piible d'être ramenée à !a icrnie a-i~b 'X/™ i , sous une forme toute
dilierente , ce qui est aussi nuisible dans la pratique , où l'on ne cherche les

+ J es tohles des simis offo-ot \ 1j vérité ifç mêmes facilités pour res eïtractinnj ,
q«fc Ih« failles des logarithmes poui les exlrsciions des racines des quantités ré Iles,
fiflij je ne p«r!e ici que d«$ moyens tiré? r!u calcul ordinaire , qui supplée flans !c cas
prêtent à i usage dt ces deruiores labiés , et qui ne saurait suppléer ï celui de;, tables
des sjnui.

H

( JS )
racines imaginairei que pour en connaitre sis^-irémeat !c» Otux |iiriie$. On
doil donc regarder h solution des équations de U fi>rrae 4**<i^ ^/z''4'(^''^=:o ,
comme incomplette en ce la'eUe ne s'éitad piwiu au cas «i/)nj nous p?.rWs, et
il parait que si l'on n'a fait que peu d'pticntion a c*tte uTipf:ii^cùvn A'vrni nvî^
thude qu'oa voit par-tout annoncée comoie ji eli« ét3i< ceiiiptcoe çt géné-
rale, c«la .vient do ce que tout«s i«s rMciaéS ?ont a!x>« in«gi«<aire> , «t <^u'on
s'eii en général beaucoup moins occu^ipé -des piojfcrts de irouver cec facin»?'-
sous la forme qui leur est propre , qite de ceuif fjui canduiseiH a la deterfi-ki-
nalicn des racines réelles : voyons si la tliéorie pr«ceden«e oifrirùit xjuélqus
chose de plus sMisfatsant a l'égard des equaiiai^ <)U6 notiR esaintnu^»,

85. La solution de i'é<iiiatJoa [aS] et celle de réqjstîoo r273 , sont tdle-
ment déi^encUnte» l'une- de l'autre , ^jue dès que la première n» peut flwi
servir à aetcrmioer les racines 4e l'éqiiatioa [27] , îî &Mt au contraite jsv«ir
recours à celle-ci pour trouver les racines de h preTnière. il suîSt «o r^jtfs de
connaître une leule des racines de l'équation [i?] , itou* trouver mutet celles
de l'équation taSTî on 1» cherche d'abord par la méikoàn des divisews-wm-
jnensurables , et lorsque l'équation n'a point de racines rationnelles , on a
fCcours aux métliodee d'approitimation ; au moj'eu de celte valeur de 7, e< en
résolvaiit l'équation a* — j c -+- A = o » on en obtJeM deus a oui , q^ui don-
nent tnsnite toutes les autres en les multipliant cbacune par les n — 1 yaçines
de l'unité du degr^ « . qui ne «ont pas égales ï un. tMais pour appliquer cette
méthode à une équation quelconque du nombre de celles qu'on résout ordinai-
rement H la man'iere des équations du second degré , i! faut d'abord la runetie?
9 la forme a'*— •Aa''-f.A'=îO, c'est-à-dîTe , qu'il faut ia préparer ûe vnsmèf»
que son dernier terme soit une puissance exacte du degré n ; ssns cette ^ïs-
cautio.n les coèAcieits de l'équation eo ç seraient irf.aîi©nne!s , ce ^ui co^^j-
quetait beaucoup la solution de cette équation , et ne donnerait qu'uaie vaSêp.r
approchée dans des cas où l'on peut avoir une erpîesîlun radicale eniett et
n'indiquant que des opératiorts exécutables ponr U mettre en nombre. Soit
àonç x"»-~y «""-f-^^o , une éqrîa^ioa dans l&quelîe la valeur de iw* »*t
iuMginaire , e» dont la solution par la raothode ordinaire de^vieur inatHe , U
faudra d abord voir si n est pair ou «np«ir. Dans le premier. e*s a eta.it de ia

forme a ^ ; , où / désigne un nombre impair, on fera -v' = y, et par cfmsénuent x* '
ou x" z=.y' .ce qui ramènera la solution deré(5ii.ilicn proposée â celle de i'éqt)A<
tion j'^'— j'j'' -+-^ = 0 , qu'on obtiendra par la ntëthodo qv,e noius âUuîu
appliquer à l'équation x^" •—/*"-+- g'^: o , en y supposant n impoir. ^n

celte équation devient — — — y^— j^ -f-^a=: o , et»

.g^isso, dont le dernier terme «sr uue pu'issanet. *xâete
du degré n, et qui ne Contient que des crwfiîcienG rationftelr, parce que n ét&M
impair , ^^ est un nombre entier ; on formera doue Teijuauon en i, q ui sera

6, )

■^y-?-ï ^ a-sp-f a ZrJj::J. e î"*' 'jL^^'^ fs

«— t

?

après ^QS aura îrssivé tinc ées valeurs de f , et <|u«n en aam condu twiteî
csUm «k a , einsi que nous venons de l'expliquer , on UétermineM celles de

« , à laiiie 5e k ferma! g x = — ~r,* , o« ^ =? ";; ' ^* 'iénoœmarsur

de ceîîç expression e«« ta vérité irratior.r.el , rnais iî est toujours facile d'en cal-
culer la valeur réeJîe, la seule dont on airbesoin , ceue valeur réelle est.uniîjue

a— ?

|»rce que îa qaanflïé 5 * est rationnslie , et que îlpdîce n du radical est
impair. Dans ie cas où n serait pair , ia méthode prëcédente ne donnerait pas

les valeurs do* , maïs seulemem celles de x"^ , c'est pourquoi l'on ne calcule-
7»it <3ue d«ux da ces valeurs , correspondantes à deux valeurs de -j. déduites
dTun» ajc-ms valeur de j; , eç en extrairait de chacune r Cois la racire quarree ,
par kï /ormvies [3oj et f^Jj » '3^- aurais ainsi deux valeurs ds •'^^ <î'*i jioî^*
«fir^ient eoulej Ses autres ea les nuiliipliant par les racines de l'unité d»î
degré n , diffcreates de un,

85. Le procédé que rous venî«3 à'indiqii^r , et Q'ai peut seoi coa4*wr?
U véritable soluîioir des erjuatîoîîg de la forme x**-^/^ -^ §"^=0 , lorjquQ
\% valeur quJalîes donnent pour «' est .'maginsife , peut sm^^ être employa
quand ccye yakar esî réelle; n^ais ce s'est que dans le «ç où l'équation en
^ ?. «n diviseur comeeniurablft, qu'il présente plus d'avantageî que la solution
ptx (a nîétlvocie ordinaire , il donne alors ses t^leuvs de x ît>ss iine forme plus
simple, -et àotn lecalcu: est moias compliqiié que celui à&i expressions di?dui-
Ui ùe cette mérhode. On voit en réuniisart tour ce (^e nous venons de dire
que pour rés^ouiire c«nvt!nabiemem uae équation de la iatma x'^" — fx" -f- g
= c, il ffiuî ii'aijard en tiier la valeur de x" ; si elle est imaginaire, on ne pouwa
etnpsoyef qu'e ia méthode ùe l'article SS; si elle est léslte , il'fiudra encore se
fctvir de la inêr.je rnéthcdo , calculer I équation en^, 'ît chai-cheï é elle awrait
01» diviseur conîmcnsurabie ; ce n est qiîe dans le cas où Ton" n'en trouverait
point , qu'il faudrait avoir recours à la marche indiquée danetouj iej li\Tesélé-
taentaire; peur résoudre les équetiens de cette forme On en «btiendra ainsi
toujours les racines sous la forme la plus simple, et l'on ne sera jamais obligé à
recotirir aux méthodes d'extrartions dos racines des qoastitès en partie ration-
celleâ et en partie irratiornelles ou inw^inairei , qui'noTit'été. inventéc-s que
pour suppléer autant qu'il était possible aux défauts de là solution erdiasire.
La détermination de ces sertè» déracines , quoique 4eveîi«o inutile à ia résolu-
tion des équations dont nous parlons , est d'aillsurs trop intéressante en elle-

H z

( 6o }

m('n-,e pou r n en pas dire \m mot ; la méthode que j& vais donner pour y ^arv'i'
nir sera une ap-plicarior) bien siiuplc de la théorie precé-dente , eil^aura jut'U
Hietbodc Qjcîinairc i'avaniuge ô%ire vraiment analytique , en Qe qu'elle ne
i;uppo3«»va poiiil qu ou connaisse d avance là forme de la racine cherchée,
comme on a eiy lusqu'à jTèsenr ohiit;(; de le fainî, sans pouvoir deniobtrer
que cette Joiine était la seule qui lui conviul , et qu il elait impossible d'obtenir
un résultai plus satiîiaisant en lui assignant unn aulr» form; .

ÎÎ7. Suit la quantité radicale du sv^cond degré a -{- y/ h , qui eît réelle, ou
imaginaire, suivant It sigue de /> , pou) et» <-;x*ralre la idcme du àeeré n^, on repr<i-
scntera cette racirie par .v.ei on iiura/T --(- V^^= •*■"» «u û=: at'" zax" -{- a"^,
cesi-à-dire, x-" — 2 >t x" -f- «" — ff=:Oj équation de la forme de celles
quf nous venons de rcsoudr(;,niai? nui nu coniluirdil c)'u a unoiele viciçux si l'on
♦>n cherchait la solution par la méthode oïdinaire , il ne faudra donc employer
quf; relie du n'\ S.'S , qui dcnrurra dan» icriv li^s cas une voleur do v df la forme
p-^'y^, ou /> et 9 serrint rarionnels scideiuflul quand l'tqu^tion en f aura
vin iliviseur coiumensurablt-. Si c!lf; iren a pas «-t cpie b sjil posilif, le calcul de
Icxpicssion p -J- y"q 3t.>rait plus diituile que celui de lu valeur approchée

de ~\/a -i V 1 par l'extraction ivnincdJate , il sera donc mutile de suivre
teife ninrchc ; mais il n'en sera pas de même dans le ca; ou b ctant r\ét;.itîf ,
n -f l/j serait imaginaire , car elle présente alors !c seul moyen de
troiiVf^i îf-s diverses racines de cotte quantité , sous la forme a laqu^;lle on
doit lani^ner tcui-îs Ifs imaginaires , ce qui iciuplit le vide que laissent d^ns
l'onseml/ie des operaiions ar:tluaétiques , quindiqnent les différentes fcvTr.vieS
usitées tu algèbre , limpossilnllte où Ion est de trouver directement ks va-
leurs approt liées des deux p.ir'ies des racines imfiairos des quantités imagi
i\airfc>s. il semble qu'on n'a pas encore assez senti , maigre î'dsage continuel
qu'on est obligé de faire de ces quantités, quelles fout une partie -^sser»-
tielle de la théorie du caleul , et que cette théorie ne sera jamais coniplettc,,
tant q» on n'aura pas des niovons faciles et uniformes de les souuietirs aux
mt-mes opérerions qu'on ex'Jcuie sur les autres nombres.

88. la (Iffuière application que i-.ous ferons des formules précédentes ,
Aura poiiv objet 1 «iquaiion [ 2" j. Nous en déduirons des relations très-simples
entre, les diii-'erentcs lacir.es de cette équaiion , à l'aide desquelles nous
pouTions les calculer toutes , dès que nous en connaîtrons une seule.
Soi» t uiie ù<: valeurs de ;; , nous aurons pour deux des valeurs de a ou de
b l«s deux racines de l'équation a^ — r ^ -f- /i = o , et nous pourron.i pren-
dre indifféremment -: = '_i_l_LllAi , 5 étant alors égal à L5l1l1î1zJ^^ .

a _^ s

nous en conclurons a -\- b — t . ei n — i =: 4^ "j/ ,î _ ^ ^ ; paur avoir les
aiifes valeurs de a et de ^ , il faudra multiplier celles que nous venons de
Trouver par les racines de l'unité du degré n , et comme on a j =ff -i- ^ =
a -t- -' ) oî'- trouvera toutes les valeurs de ^ en substituant dans cette dernière

( 6i )

équation à la place de <r , L=J^l_ilZ-2-? multiplié par les racines n'"*'. delunitë.'

2

soit p + q \^ — I une de ces racines , p — g V' - i ^ sera une autre, et
le produit d« ces deux racines en sera une troisième ; mais .et; produit est
réel et positif : il est donc nécessairement égal à l'unité , ce qui réduit la

valeur générale dc;;,j;=^:(p-f.^ V"l~ ) +

« Cp + î v^ + (p^/v-TT) ' à r = >^

^ (p — î V -i) — p (a -f. 3 ) -j- ç^ ( <: ™

f X^ li h - »- , cette valeur très - simple donnera

en y mettant à la place de p ec de j les diilerf-ntc-> valeurs
représentées par ces lettres : p et j étant des quantités réelles , les va-
leurs de i seront toutes réelles , quelque soit io UL>mbre n , lorsque 4 h
sera plus grand que :'- , c'est-à-dire , toutes les fois qufj la valeur de

•^ (/J + ï V-

- 0 ~"

: (p +ç v:

~o +

i-) T/_, z=

P' ±

toutes celles

de /,

a , 0 =" ' — ■ 1- , sera \maginairej si, au contraire , a est réel , f'^ sera

2

plus grand que 4 /^ , et ^ sera imaginaire . ï moins que q =^ o , et qui ne
peut avoir lieu que pour deux valearî , lorsque n est pair , et pour une seule,
lorsque ce nombre est impair ; dans ce dernier cis , n sera réel ou miagijiaire
dans les mêmes circonstances que a" , d'où il suit qu'alors l'équation en f
aura toutes ses racines réelles , ou n'en aura qu'une seule , suivant que la
valeur de a" sera imaginaire ou réelle. Ce tlicorêmf Lien connu, mais pour
lequel on a ordinairement recours à la considération des lignes tngonomc-
tnques , se trouve ainsi démontré d'une manière purement algébrique et
trcs-siinple.

89. Telle est la manière dant il me semble que cette partie de l'algèbre
devrait être présentée dans les traités où l'on veut donner une idée juste de
toutes les branches de cette science , et s'attacher plutôt à développer quel-
ques principes féconds en conséquences , qu'à offrir isolément des théories
dont oii n'indique point la liaison, et qui , quoique très-intcressantes , chacune
en particulier, ne se hxent que très-difficilement dans la mémoire de ceux qui
les étudient. Il e'st vra' que pour ramener à l'équation [ 25 ] tout ce que nous
venons d'en déduire , 1! faudrait pouvoir démontrer cette équation aussi géné-
ralement que nous venons de le faire , sans avoir recours à des formules
dépendantes de ia théorie des probabilités, dont les commençans n'ont ordi-
nairemeni lucune idée. Voici une démonstration très - simple qui ne peut rien
laisser à désirer à cet égard, et à laquelle j'ai été conduit par le procédé auquel
j'avais eié obligé d'avoir recours pour réduire à sa furme la plus simple
la formule du n.** 60,

50. Après avoir développé la qviantité X , comme nous l'avons fait (rg).
toute la démonstration consiste à faire voir qu'elle su réduit à a" -i- h" ,
cesi'à dire , à faire voir qu'une colonne quelconque, dont le coèfScieni-cm

< 61 )

i . Iz^l . 1^' . t:J . « ;^ë.-ti _ ^ . izf ÎLr_ 1-4 * - r

p-3

' ' * * p-» T V"*1 r TTT"*"

— »■ ' * " 3"~~~ ^ '

I ^ »*-:YAnouit , quelque st.it k valeur Ja /,. Supprimons Je fscteur commun 1

P ^^ rangeons tous les facteurs des mmérareurs de maiiière que les Xi

gumJ. Jans cUa^uo terme soitnt toujours les prewi^rs , il ,'ag>n de demW

iri . LZ^ . ^:ri „...."- P - ' "-^4 «^i» fi«$ 8 «-a

ce r^rxi se f^i', ainsi : en multipl.înt 1 une pr l'autrs k« «Jey» éqwatioa.
Oi\ a » * •* 4 p T^

« î a • 3 "*p-, '7" — «^

»v

£^-^ -4 f * r-

?-3' 7

I * -, « #

-:r- « — e(c.

+ ~ . -Ti . Lnd >_--3

( $3 )

cette équaiicîî devant être identique, qv£ix]|ues soîenl les valeurs de c et
de / . il iaut que toutes les colonnes qu« t'a (royvent aprèa i dans le stcond
raenitre , s'évanouissent d'eUes - rnêinas , ce qui domine eu égalant seijleanent
.à »eio celle qui !es représente toutes ,- et en y suppriroaut Je /acteur com-
mun s ,
I

i-^-p-î i-hp^» t^v^2 I -^p ^ i'r /■'f- < m-p~» /-4-f-»3 r^p — 4 t .
'"^Lzl. '~^P~'^ „L '"'2. .'"^~^ ' '"■' '"•*_!_

—~ a 3 ^' p

En faisant ï= « — /», et en changeant l'ordre des facteurs du dénominateur,
tiu verra aisément que cette équation revient à

• -1 a-.-* /s — 'i .1 — p-t-i «—a B— 3 rt — 4 .1— p j^

—- ^ . -._ .... — ^ _- , __ ^- , . . . _- -^

qui esc précisément celle qu'il ^'agissait de dénvoiUrst-

FI N^

QA
273
A 56

P&ASd

Ampère, André l-^rie

Jonsiderations sur la
théorie raathematioue du jeu
par A. M. Ampère

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